자연계열 (오후) 2번

[논제 Ⅱ](1)(i) <대진표 1>로 진행할 때, 1위 팀이 우승하는 경우는 다음과 같다.(a) A에서 1위 승리, B에서 2위 승리, C에서 1위 승리(b) A에서 1위 승리, B에서 3위 승리, C에서 1위 승리따라서 $\displaystyle P_1$은 $\displaystyle P_1=rpp+r(1-p)q=p^2r+(1-p)qr$이고,$\displaystyle p=0.6,\ q=0.7,\ r=0.8$이므로$\displaystyle P_1=0.6^2\times0.8+0.4\times0.7\times0.8=0.512$이다.

(ii) <대진표 2>로 진행할 때, 1위 팀이 우승하는 경우는 다음과 같다.(a) X에서 3위 승리, Y에서 2위 승리, Z에서 1위 승리(b) X에서 3위 승리, Y에서 3위 승리, Z에서 1위 승리(c) X에서 4위 승리, Y에서 2위 승리, Z에서 1위 승리(d) X에서 4위 승리, Y에서 4위 승리, Z에서 1위 승리따라서 $\displaystyle P_2$는 $\displaystyle P_2=ppp+p(1-p)q+(1-p)qp+(1-p)(1-q)r=p^3+2p(1-p)q+(1-p)(1-q)r$이고,$\displaystyle p=0.6,\ q=0.7,\ r=0.8$이므로$\displaystyle P_2=0.6^3+2\times0.6\times0.4\times0.7+0.4\times0.3\times0.8=0.648$이다.

(2) $\displaystyle q=\frac56,\ r=1$을 (1)에서 구한 $\displaystyle P_1,\ P_2$에 대입하여 $\displaystyle p$의 식으로 나타내면$\displaystyle P_1=p^2+\frac56(1-p)=\frac16(6p^2-5p+5)$,

$\displaystyle P_2=p^3+\frac53p(1-p)+\frac16(1-p)=\frac16(6p^3-10p^2+9p+1)$이다.

따라서 $\displaystyle 6p^2-5p+5=6p^3-10p^2+9p+1$이고,$\displaystyle 6p^3-16p^2+14p-4=2(p-1)^2(3p-2)=0,\ p<1$이므로, $\displaystyle p=\frac23$이다.