자연계열 (오후) 2번

경희대 2022학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_pm_2

[다] 확률의 곱셈정리두 사건 $\displaystyle A,\ B$ 가 동시에 일어날 확률은 $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$ (단, $\displaystyle P(A)>0,\ P(B)>0$ )

[논제 Ⅱ]체육 대회에서 예선을 통하여 상위 4개의 팀이 선발되었고, 이 중에서 우승팀을 결정하려고 한다. 우승팀을 결정하는 대진표는 아래와 같이 A, B, C 세 경기를 치르는 <대진표 1>과 X, Y, Z 세 경기를 치르는 <대진표 2>가 있다. 각 경기에서 한 팀이 다른 팀을 이길 확률은 예선 순위의 차이로 결정된다. 예선 상위 팀이 하위 팀을 이길 확률은 순위 차이가 1일 때 $\displaystyle p$ , 순위 차이가 2일 때 $\displaystyle q$ , 순위 차이가 3일 때 $\displaystyle r$ 이다. 예를 들어, 예선 1위 팀과 2위 팀이 경기를 할 때 1위가 이길 확률이 $\displaystyle p$ , 2위와 4위가 경기를 할 때 2위가 이길 확률이 $\displaystyle q$ , 1위와 4위가 경기를 할 때 1위가 이길 확률이 $\displaystyle r$ 이다. 단, 비기는 경우는 없으며, $\displaystyle 0.5\le p<q<r\le1$ 이다. <대진표 1>로 대회를 진행할 때 예선 1위 팀이 우승할 확률을 $\displaystyle P_1$ , <대진표 2>로 대회를 진행할 때 예선 1위 팀이 우승할 확률을 $\displaystyle P_2$ 라 하자.

(1) $\displaystyle p=0.6,\ q=0.7,\ r=0.8$ 일 때, $\displaystyle P_1$ 과 $\displaystyle P_2$ 를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

(2) $\displaystyle q=\frac56,\ r=1$ 일 때, $\displaystyle P_1$ 과 $\displaystyle P_2$ 를 각각 $\displaystyle p$ 의 식으로 나타내고, $\displaystyle P_1=P_2$ 가 되는 $\displaystyle p$ 를 구하시오. 그리고 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2022학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_pm_2

+4점 · <대진표 1>로 대회를 진행할 때 예선 1위 팀이 우승할 확률

\displaystyle P_1

의 값을 정확하게 구한다.

[논제 Ⅱ](1)(i) <대진표 1>로 진행할 때, 1위 팀이 우승하는 경우는 다음과 같다.(a) A에서 1위 승리, B에서 2위 승리, C에서 1위 승리(b) A에서 1위 승리, B에서 3위 승리, C에서 1위 승리따라서 $\displaystyle P_1$ 은 $\displaystyle P_1=rpp+r(1-p)q=p^2r+(1-p)qr$ 이고, $\displaystyle p=0.6,\ q=0.7,\ r=0.8$ 이므로 $\displaystyle P_1=0.6^2\times0.8+0.4\times0.7\times0.8=0.512$ 이다.

+6점 · <대진표 2>로 대회를 진행할 때 예선 1위 팀이 우승할 확률

\displaystyle P_2

의 값은 정확하게 구한다.

(ii) <대진표 2>로 진행할 때, 1위 팀이 우승하는 경우는 다음과 같다.(a) X에서 3위 승리, Y에서 2위 승리, Z에서 1위 승리(b) X에서 3위 승리, Y에서 3위 승리, Z에서 1위 승리(c) X에서 4위 승리, Y에서 2위 승리, Z에서 1위 승리(d) X에서 4위 승리, Y에서 4위 승리, Z에서 1위 승리따라서 $\displaystyle P_2$ 는 $\displaystyle P_2=ppp+p(1-p)q+(1-p)qp+(1-p)(1-q)r=p^3+2p(1-p)q+(1-p)(1-q)r$ 이고, $\displaystyle p=0.6,\ q=0.7,\ r=0.8$ 이므로 $\displaystyle P_2=0.6^3+2\times0.6\times0.4\times0.7+0.4\times0.3\times0.8=0.648$ 이다.

+5점 · <대진표 1>로 대회를 진행할 때 예선 1위 팀이 우승할 확률

\displaystyle P_1

을

\displaystyle p

의 식으로 정확하게 나타낸다.

(2) $\displaystyle q=\frac56,\ r=1$ 을 (1)에서 구한 $\displaystyle P_1,\ P_2$ 에 대입하여 $\displaystyle p$ 의 식으로 나타내면 $\displaystyle P_1=p^2+\frac56(1-p)=\frac16(6p^2-5p+5)$ ,

+5점 · <대진표 2>로 대회를 진행할 때 예선 1위 팀이 우승할 확률

\displaystyle P_2

를

\displaystyle p

의 식으로 정확하게 나타낸다.

$\displaystyle P_2=p^3+\frac53p(1-p)+\frac16(1-p)=\frac16(6p^3-10p^2+9p+1)$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle P_1=P_2

가 되는

\displaystyle p

를 정확하게 구한다.

따라서 $\displaystyle 6p^2-5p+5=6p^3-10p^2+9p+1$ 이고, $\displaystyle 6p^3-16p^2+14p-4=2(p-1)^2(3p-2)=0,\ p<1$ 이므로, $\displaystyle p=\frac23$ 이다.

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