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자연계열 (오후) 3번

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경희대 2022학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_pm_3

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[나] lim⁡n→∞an=L, lim⁡n→∞bn=M\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=L,\ \lim_{n\to\infty}b_n=M (L, M\displaystyle L,\ M은 실수)일 때, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여① an≤bn\displaystyle a_n\le b_n이면 L≤M\displaystyle L\le M② an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이고 L=M\displaystyle L=M이면 lim⁡n→∞cn=L\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=L

[논제 Ⅲ]점 A(a,1a) (a>0)\displaystyle \mathrm A\left(a,\frac1a\right)\ (a>0)을 지나고 기울기가 음수인 직선이 곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x과 접하지 않는다. 이 직선이 y\displaystyle y축과 만나는 점을 P, x\displaystyle x축과 만나는 점을 Q, 곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 B라 하고, 원점을 O라 하자.

(1) AB‾=12PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac12\overline{\mathrm{PQ}}일 때, 삼각형 OPQ의 넓이 S(a)\displaystyle S(a)를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

(2) AB‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=1일 때, 삼각형 OPQ의 넓이 S(a)\displaystyle S(a)에 대하여 lim⁡a→∞S(a)\displaystyle \lim_{a\to\infty}S(a)와 lim⁡a→0S(a)\displaystyle \lim_{a\to0}S(a)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)Comment. 어느 쪽의 B\displaystyle B를 택해도 구하는 두 극한값은 모두 2\displaystyle 2이지만, AB=1\displaystyle AB=1을 만족하는 점 B\displaystyle B는 A\displaystyle A의 양쪽에 하나씩 있어 넓이가 a\displaystyle a만으로 하나로 정해지지는 않는다.

해설강의 준비중

경희대 2022학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_pm_3

+5점 · 직선의 방정식을 구할 수 있고 이를 이용하여 점 P와 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.

[논제 Ⅲ]점 B의 좌표를 B(b,1b)\displaystyle \mathrm B\left(b,\frac1b\right)라 하자. 점 A와 B를 지나는 직선의 방정식은 y=−1abx+1a+1b\displaystyle y=-\frac1{ab}x+\frac1a+\frac1b이다. 따라서 점들의 좌표 P(0,1a+1b)\displaystyle \mathrm P\left(0,\frac1a+\frac1b\right)와 Q(a+b,0)\displaystyle \mathrm Q(a+b,0)을 얻을 수 있다. 따라서AB‾=(a−b)2+(1a−1b)2=∣a−b∣ab1+a2b2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(a-b)^2+\left(\frac1a-\frac1b\right)^2}=\frac{|a-b|}{ab}\sqrt{1+a^2b^2}이고,PQ‾=(a+b)2+(1a+1b)2=(a+b)ab1+a2b2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(a+b)^2+\left(\frac1a+\frac1b\right)^2}=\frac{(a+b)}{ab}\sqrt{1+a^2b^2}이다.

+5점 · 이를 이용하여 삼각형 OPQ의 넓이를 구한다.

(1) 점 B가 AB‾=12PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac12\overline{\mathrm{PQ}}를 만족하는 경우, ∣a−b∣=12(a+b)\displaystyle |a-b|=\frac12(a+b)를 얻는다. 이때, a>b\displaystyle a>b이면 b=13a\displaystyle b=\frac13a이고 a<b\displaystyle a<b이면 b=3a\displaystyle b=3a이다. 삼각형 OPQ의 넓이는 S(a)=12(1a+1b)(a+b)=(a+b)22ab\displaystyle S(a)=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2ab}이므로, a>b\displaystyle a>b인 경우와 a<b\displaystyle a<b인 경우 모두 S(a)=83\displaystyle S(a)=\frac83을 얻는다.

+5점 · 극한의 대소관계를 이용할 수 있다.

(2) 점 B가 AB‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=1을 만족하는 경우,∣a−b∣=ab1+a2b2\displaystyle |a-b|=\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}를 얻는다. 이때 a>b\displaystyle a>b이면 a=b+ab1+a2b2\displaystyle a=b+\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}이고, a<b\displaystyle a<b이면 b=a+ab1+a2b2\displaystyle b=a+\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}이므로, 이를 다시 쓰면ba={1−b1+a2b2(a>b)1+b1+a2b2(a<b)\displaystyle \frac ba=\begin{cases}1-\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a>b)\\1+\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a<b)\end{cases}이다. 여기서 0<ab1+a2b2<1\displaystyle 0<\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}<1이므로, 0<b1+a2b2<1a\displaystyle 0<\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}<\frac1a이고, 극한값 lim⁡a→∞b1+a2b2=0\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}=0을 얻는다.

+10점 · a\displaystyle a와 b\displaystyle b 사이의 관계를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.

따라서 극한값 lim⁡a→∞ba=1\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac ba=1을 얻을 수 있고, 이를 이용하면lim⁡a→∞S(a)=lim⁡a→∞(1+ba)22ba=2\displaystyle \lim_{a\to\infty}S(a)=\lim_{a\to\infty}\frac{\left(1+\frac ba\right)^2}{2\frac ba}=2를 얻는다. 위 식을 ab\displaystyle \frac ab에 대해서 정리하면ab={1+a1+a2b2(a>b)1−a1+a2b2(a<b)\displaystyle \frac ab=\begin{cases}1+\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a>b)\\1-\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a<b)\end{cases}이다. 여기서 0<11+a2b2<1\displaystyle 0<\frac1{\sqrt{1+a^2b^2}}<1이므로, 0<a1+a2b2<a\displaystyle 0<\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}<a이고, 극한값 lim⁡a→0a1+a2b2=0\displaystyle \lim_{a\to0}\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}=0을 얻는다. 따라서 극한값 lim⁡a→∞ab=1\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac ab=1을 얻을 수 있고, 이를 이용하면Correction. 이 문단에서 ab\displaystyle \frac ab의 극한에 적힌 a→∞\displaystyle a\to\infty는 a→0\displaystyle a\to0의 오기이다. 바로 앞에서 0<a1+a2b2<a\displaystyle 0<\frac{a}{\sqrt{1+a^2b^2}}<a를 이용하여 a→0\displaystyle a\to0일 때 ab→1\displaystyle \frac ab\to1임을 구했다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.lim⁡a→0S(a)=lim⁡a→0(1+ab)22ab=2\displaystyle \lim_{a\to0}S(a)=\lim_{a\to0}\frac{\left(1+\frac ab\right)^2}{2\frac ab}=2를 얻는다.

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