자연계열 (오후) 3번

[논제 Ⅲ]점 B의 좌표를 $\displaystyle \mathrm B\left(b,\frac1b\right)$라 하자. 점 A와 B를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1{ab}x+\frac1a+\frac1b$이다. 따라서 점들의 좌표 $\displaystyle \mathrm P\left(0,\frac1a+\frac1b\right)$와 $\displaystyle \mathrm Q(a+b,0)$을 얻을 수 있다. 따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(a-b)^2+\left(\frac1a-\frac1b\right)^2}=\frac{|a-b|}{ab}\sqrt{1+a^2b^2}$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(a+b)^2+\left(\frac1a+\frac1b\right)^2}=\frac{(a+b)}{ab}\sqrt{1+a^2b^2}$이다.

(1) 점 B가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac12\overline{\mathrm{PQ}}$를 만족하는 경우, $\displaystyle |a-b|=\frac12(a+b)$를 얻는다. 이때, $\displaystyle a>b$이면 $\displaystyle b=\frac13a$이고 $\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle b=3a$이다. 삼각형 OPQ의 넓이는 $\displaystyle S(a)=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2ab}$이므로, $\displaystyle a>b$인 경우와 $\displaystyle a<b$인 경우 모두 $\displaystyle S(a)=\frac83$을 얻는다.

(2) 점 B가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=1$을 만족하는 경우,$\displaystyle |a-b|=\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}$를 얻는다. 이때 $\displaystyle a>b$이면 $\displaystyle a=b+\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}$이고, $\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle b=a+\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}$이므로, 이를 다시 쓰면$\displaystyle \frac ba=\begin{cases}1-\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a>b)\\1+\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a<b)\end{cases}$이다. 여기서 $\displaystyle 0<\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}<1$이므로, $\displaystyle 0<\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}<\frac1a$이고, 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}=0$을 얻는다.

따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac ba=1$을 얻을 수 있고, 이를 이용하면$\displaystyle \lim_{a\to\infty}S(a)=\lim_{a\to\infty}\frac{\left(1+\frac ba\right)^2}{2\frac ba}=2$를 얻는다. 위 식을 $\displaystyle \frac ab$에 대해서 정리하면$\displaystyle \frac ab=\begin{cases}1+\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a>b)\\1-\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a<b)\end{cases}$이다. 여기서 $\displaystyle 0<\frac1{\sqrt{1+a^2b^2}}<1$이므로, $\displaystyle 0<\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}<a$이고, 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}=0$을 얻는다. 따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac ab=1$을 얻을 수 있고, 이를 이용하면$\displaystyle \lim_{a\to0}S(a)=\lim_{a\to0}\frac{\left(1+\frac ab\right)^2}{2\frac ab}=2$를 얻는다.