인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1](1) 임의의 상품 개수 $\displaystyle N$에 대하여, 각 상품은 모두 $\displaystyle N-1$개의 상품 가격이 있다. 따라서 총합은 $\displaystyle N(N-1)$인데, 중복되는 정보는 제거해야 하므로 모든 가격은 $\displaystyle \frac{N(N-1)}2$개가 된다. $\displaystyle \frac{N(N-1)}2=351$를 만족하게 해야 하므로 $\displaystyle N(N-1)=702$.$\displaystyle N^2-N-702=0$이므로 $\displaystyle (N+26)(N-27)=0$. 즉, 27개의 상품이 존재한다.(2) 실업률을 확률변수 $\displaystyle X$, 물가 상승률을 $\displaystyle Y$라하면, $\displaystyle X\sim N(0.04,0.01^2)$이고 $\displaystyle Y\sim N(0.02,0.02^2)$이다. 실업률이 0.05 이상일 사건을 $\displaystyle A$, 물가 상승률이 0.06 이상일 사건을 $\displaystyle B$라고 했을 때 사건 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$는 서로 독립이므로 $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$.$\displaystyle P(A)=P(X\ge0.05)=1-P(X\le0.05)$이고, $\displaystyle Z_1=\frac{X-0.04}{0.01}$라 하면, $\displaystyle Z_1$은 표준정규분포를 따른다.$\displaystyle P(X\le0.05)=P\left(0\le Z_1\le\frac{0.05-0.04}{0.01}\right)=P(0\le Z_1\le1)=0.3413$ 즉, $\displaystyle 0.5-0.3413=0.1587$.Correction. $\displaystyle P(X\le0.05)=0.5+0.3413=0.8413$이므로 구하는 꼬리확률은 $\displaystyle 0.1587$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.마찬가지로 $\displaystyle P(B)=P(Y\ge0.06)=1-P(Y\le0.06)$이고 $\displaystyle Z_2=\frac{Y-0.02}{0.01}$라 하면, $\displaystyle Z_2$은 표준정규분포를 따른다.Correction. 표준화 식의 분모는 $\displaystyle 0.01$이 아니라 $\displaystyle 0.02$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle P(Y\le0.06)=P\left(0\le Z_2\le\frac{0.06-0.02}{0.02}\right)=P(0\le Z_2\le2)=0.4772$ 즉, $\displaystyle 0.5-0.4772=0.0228$.Correction. $\displaystyle P(Y\le0.06)=0.5+0.4772=0.9772$이므로 구하는 꼬리확률은 $\displaystyle 0.0228$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 두 독립인 사건이 동시에 발생할 확률은 약 0.0036이므로 $\displaystyle 100\times a=0.36$이다.

[문제 2-2](1) K사의 매출액은 가격 P에 수량 Q를 곱한 값이며 이윤은 매출액에서 비용을 뺀 값이다. 따라서 K사가 Q만큼을 생산하여 판매할 때 얻는 이윤을 $\displaystyle g(Q)$라고 하면$\displaystyle g(Q)=(-20Q+40+m)Q-(5Q^2+10+m-t)=-25Q^2+(40+m)Q-(10+m-t)$가 된다. $\displaystyle g(Q)$를 Q에 대해 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(Q)=-50Q+(40+m)$이 되어 $\displaystyle Q<\frac{40+m}{50}$일 경우 $\displaystyle g^{\prime}(Q)>0$이며 Q를 늘릴수록 이윤 $\displaystyle g(Q)$가 증가한다. 반면 $\displaystyle Q>\frac{40+m}{50}$일 경우 $\displaystyle g^{\prime}(Q)<0$이며 Q를 늘릴수록 이윤 $\displaystyle g(Q)$가 감소한다. 따라서 $\displaystyle Q=\frac{40+m}{50}$일 때 이윤이 최대가 된다.(2) (1)에서 구한 바와 같이 을국이 경제 활성화 정책의 강도가 $\displaystyle m$일 경우 K사는 $\displaystyle Q=\frac{40+m}{50}$만큼 생산한다. 이를 K사의 이윤함수에 대입하면$\displaystyle g(Q)=-25Q^2+(40+m)Q-(10+m-t)=-25\times\left(\frac{40+m}{50}\right)^2+\frac{(40+m)^2}{50}-(10+m-t)$$\displaystyle =\frac{(40+m)^2}{100}-(10+m-t)$가 되며, 이는 $\displaystyle m$에 대한 함수 $\displaystyle h(m)=\frac{(40+m)^2}{100}-(10+m-t)$로 나타낼 수 있다.$\displaystyle h^{\prime}(m)=\frac{40+m}{50}-1$이며 $\displaystyle m<10$에서 $\displaystyle h^{\prime}(m)<0$이므로 $\displaystyle h(m)$은 감소하고, $\displaystyle m>10$에서 $\displaystyle h^{\prime}(m)>0$이므로 $\displaystyle h(m)$은 증가한다 따라서 $\displaystyle h(m)$은 $\displaystyle m=10$일 때 최소가 된다.(3) (1)과 (2)에서 구한 값을 정리하면 $\displaystyle m=10$이며, $\displaystyle Q=\frac{40+m}{50}=\frac{40+10}{50}=1$이며, $\displaystyle t$시기 K사의 이윤 $\displaystyle f(t)=5+t$가 된다. 따라서 $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=s$까지의 누적이윤은$\displaystyle \int_0^sf(t)\,dt=\int_0^s(5+t)\,dt=\Biggl[5t+\frac12t^2\Biggr]_0^s=5s+\frac12s^2$이 된다. $\displaystyle 5s+\frac12s^2=48$을 정리하면 $\displaystyle s^2+10s-96=0$이 되고 따라서 $\displaystyle (s+16)(s-6)=0$이 된다. $\displaystyle s\ge0$이므로 $\displaystyle s=6$이다.

[문제 2-3](1) 식 $\displaystyle y=ax+b$에 년도 $\displaystyle x_1(=12),x_2(=16),x_3(=20)$를 대입하여 얻은 연도별 출산율 예측값은 각각 $\displaystyle 12a+b(=ax_1+b),16a+b(=ax_2+b),20a+b(=ax_3+b)$이고, 년도 $\displaystyle x_1,x_2,x_3$의 실제 출산율은 각각 $\displaystyle y_1=1.1,y_2=1.0,y_3=0.7$이다. 따라서 $\displaystyle S=e_1^2+e_2^2+e_3^2$에 있어서, 오차는 각각 $\displaystyle e_1=(ax_1+b)-y_1=12a+b-1.1,\quad e_2=(ax_2+b)-y_2=16a+b-1.0,$ 그리고 $\displaystyle e_3=(ax_3+b)-y_3=20a+b-0.7$이다.$\displaystyle S=e_1^2+e_2^2+e_3^2$에 대입하면$\displaystyle S=(12a+b-1.1)^2+(16a+b-1.0)^2+(20a+b-0.7)^2$ 또는$\displaystyle S=800a^2+3b^2+96ab-86.4a-5.6b+2.7$이다.(2) ‘(1)’에서 구한 $\displaystyle S$식의 $\displaystyle b$값에 1.7을 대입하면$\displaystyle S=(12a+1.7-1.1)^2+(16a+1.7-1.0)^2+(20a+1.7-0.7)^2=(12a+0.6)^2+(16a+0.7)^2+(20a+1.0)^2$$\displaystyle =800a^2+76.8a+1.85$이다.이제 $\displaystyle S$를 $\displaystyle a$에 대하여 미분하면 $\displaystyle S^{\prime}=1600a+76.8$이 되고 이 값이 0이 되는 $\displaystyle a$값을 구하면 $\displaystyle a=-0.048$이 되어 소수점 셋째 자리에서 반올림하면 $\displaystyle a=-0.05$이고 이 점에서 $\displaystyle S$는 극값을 갖는다.한편, 제시문 [차]에 의해 $\displaystyle a<0.05$일 때는 $\displaystyle S^{\prime}=1600a+76.8>0$이고 $\displaystyle a>0.05$일 때는 $\displaystyle S^{\prime}=1600a+76.8<0$이 되어 $\displaystyle a=-0.05$일 때 $\displaystyle S$는 최솟값을 갖는다.Correction. $\displaystyle S^{\prime}$는 $\displaystyle a<-0.048$에서 음수이고 $\displaystyle a>-0.048$에서 양수이다. 따라서 $\displaystyle S$는 $\displaystyle a=-0.048$에서 최소가 되고, 이를 소수점 둘째 자리까지 반올림한 답이 $\displaystyle -0.05$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(3) 앞에서 구한 $\displaystyle a=-0.05$와 $\displaystyle b=1.7$를 $\displaystyle y=ax+b$에 대입하여 완성된 $\displaystyle y=-0.05x+1.7$를 이용하여 2030($\displaystyle x=30$)년도 K국의 출산율을 예측하면 $\displaystyle y=-0.05\times30+1.7=0.2$를 얻는다. 즉 2023년도 K국의 출산율은 0.2로 예상된다.Correction. ‘2023년도’는 ‘2030년도’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.