자연계열 B 3번

[문제 3번] 답: $\displaystyle S^{\prime}(1)=\frac{2\pi}3-\sqrt3$

[풀이]

$\displaystyle \mathrm A(t,0),\ \mathrm B(1,0)$이라 하고 두 원의 교점을 C라 하자. $\displaystyle \angle AOC=\alpha$라 하면 $\displaystyle \angle OAC=\pi-2\alpha$이다.($\displaystyle 0<t\le1$일 때는 왼쪽 그림, $\displaystyle t\ge1$일 때는 오른쪽 그림 참조)Caution. 그림에서 그렇게 보인다는 이유만으로 교점이나 그래프의 위치 관계를 단정해서는 안 된다: 대학 풀이의 왼쪽 그림처럼 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나는 범위는 $\displaystyle \frac12<t\le1$이다. $\displaystyle 0<t<\frac12$에서는 작은 원이 큰 원 내부에 있고, $\displaystyle t=\frac12$이면 내접하여 한 점에서 만난다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.중심이 O이고 반지름이 1인 부채꼴 OBC의 넓이를 $\displaystyle S_1$이라 하고,중심이 A이고 반지름이 $\displaystyle t$인 부채꼴 AOC의 넓이를 $\displaystyle S_2$라 하고,삼각형 OAC의 넓이를 $\displaystyle S_3$라 하면,$\displaystyle S(t)=2(S_1+S_2-S_3)$$\displaystyle =2\left(\frac12\alpha+\frac12t^2(\pi-2\alpha)-\frac12t\sin\alpha\right)=\alpha+t^2(\pi-2\alpha)-t\sin\alpha$$\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{d\alpha}{dt}+2t(\pi-2\alpha)+t^2\left(-2\frac{d\alpha}{dt}\right)-\sin\alpha-t\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}$삼각형 OAC에서 코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{1+t^2-t^2}{2\cdot1\cdot t}=\frac1{2t}$양변을 미분하면 $\displaystyle -\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}=-\frac1{2t^2}$$\displaystyle t=1$일 때, 삼각형 OAC는 정삼각형이므로 $\displaystyle \alpha=\frac\pi3,\ \frac{d\alpha}{dt}=\frac1{\sqrt3}$$\displaystyle S^{\prime}(1)=\frac1{\sqrt3}+2\left(\pi-\frac{2\pi}3\right)-2\frac1{\sqrt3}-\frac{\sqrt3}2-\frac12\frac1{\sqrt3}$$\displaystyle =\frac23\pi-\sqrt3$