자연계열 A 4번

[문제 4번] 답: $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt7}3$, 점 P의 좌표: $\displaystyle \left(1-\frac{\sqrt{14}}2,1+\frac{\sqrt{14}}2\right)$

[풀이]다음의 두 가지 경우로 나누어서 푼다.(1) 점 P의 $\displaystyle y$좌표가 1보다 작거나 같을 때:점 P에서 점 $\displaystyle (0,1)$까지의 거리를 $\displaystyle d$라 하자. (단, $\displaystyle d>0$)코사인법칙을 이용하면$\displaystyle \cos\alpha=\frac{9+d^2-1}{6d}=\frac4{3d}+\frac d6\ge\frac{2\sqrt2}3$

(2) 점 P의 $\displaystyle y$좌표가 1보다 클 때:점 P에서 점 $\displaystyle (1,1)$까지의 거리를 $\displaystyle d$라 하자. (단, $\displaystyle d>0$)코사인법칙을 이용하면$\displaystyle \cos\alpha=\frac{9+d^2-2}{6d}=\frac7{6d}+\frac d6\ge\frac{\sqrt7}3$

(1), (2)에 의하여 $\displaystyle \cos\alpha$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{\sqrt7}3$이다.등호는 $\displaystyle \frac7{6d}=\frac d6$일 때 성립하고, 이때 $\displaystyle d=\sqrt7$이다. 점 $\displaystyle (1,1)$을 Q라 하고 $\displaystyle d=\sqrt7$일 때 각 POQ의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하자.$\displaystyle \cos\theta=\frac{9+2-7}{6\sqrt2}=\frac{\sqrt2}3$이고, $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt7}3$이다.점 P의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle 3\cos\left(\theta+\frac\pi4\right)=3\left(\cos\theta\cos\frac\pi4-\sin\theta\sin\frac\pi4\right)=1-\frac{\sqrt{14}}2$이다.점 P의 $\displaystyle y$좌표는$\displaystyle 3\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)=3\left(\sin\theta\cos\frac\pi4+\cos\theta\sin\frac\pi4\right)=1+\frac{\sqrt{14}}2$이다.