자연계열 A 1번

[문제 1번] 답: $\displaystyle \frac{1+\sqrt3}3$

[풀이]원의 접선 $\displaystyle y=mx$에서 원의 중심 $\displaystyle \left(0,\frac{\sqrt{13}}3\right)$까지의 거리는 원의 반지름과 같으므로 $\displaystyle \frac{\left|\frac{\sqrt{13}}3\right|}{\sqrt{m^2+1}}=1$이고 제 1사분면에서 만나므로 $\displaystyle m=\frac23$이다.접선과 곡선의 교점은$\displaystyle \frac23x=\frac16x^3+\frac1{2x}$로부터 $\displaystyle x^2=1$ 또는 3이다.교점은 제 1사분면에 있으므로 2개이고, 두 교점의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle 1,\sqrt3$이다.곡선 $\displaystyle y=\frac16x^3+\frac1{2x}$에서 $\displaystyle y^{\prime}=\frac12x^2-\frac1{2x^2}$이다.따라서 $\displaystyle x=1$에서 극값을 갖고, $\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle y^{\prime}<0,\ x>1$에서 $\displaystyle y^{\prime}>0$이다.따라서 제 1사분면에서 곡선 $\displaystyle y=\frac16x^3+\frac1{2x}$은 $\displaystyle 0<x<1$에서 감소하고 $\displaystyle x>1$에서 증가하며 $\displaystyle x=1$에서 최솟값 $\displaystyle \frac23$를 갖는다.원 위의 점의 $\displaystyle x$좌표의 최댓값은 1이고 $\displaystyle x=1$일 때 원 위의 점의 좌표는 $\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{13}}3\right)$이다.따라서 점 $\displaystyle \left(1,\frac23\right)$는 원 밖의 점이다.

따라서 $\displaystyle 1\le x\le\sqrt3$일 때 곡선이 보인다. 곡선의 길이는$\displaystyle \int_1^{\sqrt3}\sqrt{1+\left(\frac12x^2-\frac1{2x^2}\right)^2}\,dx=\int_1^{\sqrt3}\left(\frac12x^2+\frac1{2x^2}\right)dx$$\displaystyle =\Biggl[\frac16x^3-\frac1{2x}\Biggr]_1^{\sqrt3}=\frac{1+\sqrt3}3$