자연계열 B 1번

[문제 1번]답: $\displaystyle t=\frac12$일 때의 R의 넓이는 $\displaystyle \frac{5\pi}{48}-\frac{\sqrt3}8$이고,R의 넓이가 최대가 될 때의 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle \frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}$이다.

[풀이]

$\displaystyle \mathrm A(t,0),\ \mathrm B(1,0)$이라 하고 $\displaystyle x=t$가 큰 원 및 작은 원과 만나는 점을 각각 C,D라 하자.각 AOC의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하자. 도형 R의 넓이를 $\displaystyle f(t)$라 하자.R의 넓이를 적분으로 표현하면$\displaystyle f(t)=\int_t^1\sqrt{1-x^2}\,dx-\frac\pi4(1-t)^2=-\int_1^t\sqrt{1-x^2}\,dx-\frac\pi4(1-t)^2\quad(1)$$\displaystyle x=\cos\theta$로 치환하여 적분을 풀어서 $\displaystyle f(t)=\frac12\theta-\frac12t\sqrt{1-t^2}-\frac\pi4(1-t)^2$를 얻는다.$\displaystyle t=\frac12$일 때, $\displaystyle \theta=\frac\pi3$이므로$\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac12\frac\pi3-\frac12\frac12\frac{\sqrt3}2-\frac\pi4\frac14=\frac{5\pi}{48}-\frac{\sqrt3}8$따라서 $\displaystyle t=\frac12$일 때 R의 넓이는 $\displaystyle \frac{5\pi}{48}-\frac{\sqrt3}8$이다.(1)을 미분하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\sqrt{1-t^2}+\frac\pi2(1-t)$.$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$으로부터 $\displaystyle \sqrt{1-t^2}=\frac\pi2(1-t)$양변을 제곱하여 얻은 $\displaystyle 1+t=\frac{\pi^2}4(1-t)$을 풀면 $\displaystyle t=\frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}$에서 극값을 가진다.$\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)\ge0$이므로 $\displaystyle f(t)$는 증가$\displaystyle \frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}\le t\le1$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)\le0$이므로 $\displaystyle f(t)$는 감소그러므로 $\displaystyle t=\frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}$에서 R의 넓이가 최대가 된다.