자연계열 B 4번

[문제 4번]답: $\displaystyle \mathrm A\left(\frac{2-\sqrt{14}}2,\frac{9-2\sqrt{14}}2\right)$

[풀이]좌표를 $\displaystyle \mathrm A(a,a^2),\ \mathrm B(b,b^2),\ \mathrm P(x,y)$라 하자.$\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 $\displaystyle x^2=2x+t$ 즉 $\displaystyle x^2-2x-t=0$의 근이므로 근과 계수의 관계에서 다음이 성립한다.$\displaystyle a+b=2$$\displaystyle ab=-t$$\displaystyle a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4+2t=2(t+2)$$\displaystyle a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=4(t+2)^2-2t^2=2t^2+16t+16$이를 이용하여 $\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2$을 계산하면 다음을 얻을 수 있다,$\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2$$\displaystyle =(x-a)^2+(y-a^2)^2+(x-b)^2+(y-b^2)^2$$\displaystyle =2x^2-2(a+b)x+(a^2+b^2)+2y^2-2(a^2+b^2)y+(a^4+b^4)$$\displaystyle =2x^2-4x+2(t+2)+2y^2-4(t+2)y+(2t^2+16t+16)$$\displaystyle =2x^2-4x+2+2y^2-4(t+2)y+2(t+2)^2+2(t+1)+(8t+8)$$\displaystyle =2(x-1)^2+2(y-t-2)^2+10(t+1)$$\displaystyle \mathrm M(1,t+2)$에 대하여 $\displaystyle \overline{MP}^2=(x-1)^2+(y-t-2)^2$이므로$\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2=2\overline{MP}^2+10(t+1)$.또한 $\displaystyle \overline{MP}$는 M에서 원 $\displaystyle (x-1)^2+(y-8)^2=1$ 위의 점 P에 이르는 거리이다.그런데 점 $\displaystyle \mathrm M(1,t+2)$와 원의 중심이 모두 $\displaystyle x=1$ 위에 있으므로M에 가장 가까운 원 위의 점은 $\displaystyle t+2\le8$일 때는 $\displaystyle \mathrm P(1,7)$이고,$\displaystyle t+2\ge8$일 때는 $\displaystyle \mathrm P(1,9)$이다.이때 $\displaystyle \overline{MP}=\begin{cases}|(t+2)-7|=|t-5|&0<t\le6\text{일 때},\\|(t+2)-9|=|t-7|&t\ge6\text{일 때},\end{cases}$$\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2=2\overline{MP}^2+10(t+1)$로부터$\displaystyle 0<t\le6$일 때,$\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2=2(t-5)^2+10(t+1)=2t^2-10t+60=2\left(t-\frac52\right)^2+60-\frac{25}2$$\displaystyle t\ge6$일 때,$\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2=2(t-7)^2+10(t+1)=2t^2-18t+108=2\left(t-\frac92\right)^2+108-\frac{81}2$.따라서 $\displaystyle t=\frac52$일 때 $\displaystyle \overline{AP}^2+\overline{BP}^2$이 최소가 된다.이때 A의 좌표는 $\displaystyle x^2-2x-\frac52=0$으로 부터 $\displaystyle x=\frac{2\pm\sqrt{14}}2,\ y=2x+\frac52=\frac{9\pm2\sqrt{14}}2$이다.점 A는 제 2사분면의 점이므로 $\displaystyle \left(\frac{2-\sqrt{14}}2,\frac{9-2\sqrt{14}}2\right)$이다.