자연계열 B 2번

[문제 2번] 답: (1) 560, (2) 1120

[풀이](1) CB를 하나의 문자로 취급하면, A 3개, (CB) 3개, B 2개로 총 8개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{8!}{3!3!2!}=560$이다.

(2)1단계: A 3개와 C 3개를 일렬로 나열한 다음, 조건2를 만족하도록 B를 배치할 위치를 결정하면 된다.먼저 $\displaystyle \boxed{\mathrm A}\ \boxed{\mathrm C}\ \boxed{\mathrm A}\ \boxed{\mathrm C}\ \boxed{\mathrm C}\ \boxed{\mathrm A}$ 처럼 A 3개와 C 3개를 일렬로 나열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{3!3!}$이다.2단계:이제, 아래와 같은 7개의 * 위치에 조건을 만족하도록 5개의 B의 위치를 결정해야 한다.$\displaystyle *\boxed{\mathrm A}\ *\boxed{\mathrm C}\ *\boxed{\mathrm A}\ *\boxed{\mathrm C}\ *\boxed{\mathrm C}\ *\boxed{\mathrm A}\ *$7개의 *가 표시된 자리 중, A 바로 다음 자리 3자리는 제외하고 남은 4개의 * 자리에 B 5개를 배치한다.$\displaystyle *\boxed{\mathrm A}\ \boxed{\mathrm C}\ *\boxed{\mathrm A}\ \boxed{\mathrm C}\ *\boxed{\mathrm C}\ *\boxed{\mathrm A}$첫 번째 * 자리에 들어가는 B의 개수를 $\displaystyle x_1$, 두 번째 * 자리에 들어가는 B의 개수를 $\displaystyle x_2$,세 번째 * 자리에 들어가는 B의 개수를 $\displaystyle x_3$, 네 번째 * 자리에 들어가는 B의 개수를 $\displaystyle x_4$라고 할 때 B의 개수가 5개이므로 다음 방정식을 만족한다.$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=5,\ x_i\ge0\ (i=1,2,3,4)$따라서 방정식의 음이 아닌 정수 해의 개수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm H_5={}_{4+5-1}\mathrm C_5={}_{8}\mathrm C_5$이므로 조건을 만족하는 방법의 수는$\displaystyle \frac{6!}{3!3!}\times{}_{8}\mathrm C_5=\frac{6!}{3!3!}\times\frac{8!}{3!5!}=1120$이다.