자연계열 A 2번

[문제 2번] 답: (1) 231,000,　(2) 118,800

[풀이](1) 먼저 D가 연속하여 나타나는 경우의 수를 구한다. 이 경우 DD를 하나로 생각하면 D가 연속으로 나타나게 배열하는 방법의 수는 모두 $\displaystyle \frac{11!}{3!\times4!\times3!\times1!}$이다.따라서 문자 D가 연속하여 나타나지 않는 경우의 수는$\displaystyle \frac{12!}{3!\times4!\times3!\times2!}-\frac{11!}{3!\times4!\times3!\times1!}=\frac{5\times11!}{3!\times4!\times3!}=231,000$

(2) 다음과 같이 1단계, 2단계, 3단계로 분석하여 각 단계별 경우의 수를 구한다.(1단계) 먼저 12자리 중 문자 A와 B의 위치를 결정한다. A와 B가 총 7개이므로 12개의 자리에서 7자리를 택하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{12}\mathrm C_7$이다.

(2단계) 선택된 7자리에 문자 A와 B를 배치하는 방법의 수를 구한다.문자 A와 B의 위치가 결정되었을 때, 선택된 7자리 중 가장 왼쪽에 위치한 자리는 문자 A를 놓고 나머지 6자리에 2개의 문자 A와 4개의 문자 B를 배치하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{2!\times4!}$이다.

(3단계) 남은 자리 5개에 문자 C와 D를 배치한다. 문자 C가 3개, 문자 D가 2개이므로 $\displaystyle \frac{5!}{3!\times2!}$가지의 경우가 있다.따라서 1단계, 2단계, 3단계에 의해 [조건 2]를 만족하면서 A, B, C, D를 배열하는 방법의 수는$\displaystyle {}_{12}\mathrm C_7\times\frac{6!}{2!\times4!}\times\frac{5!}{3!\times2!}=118,800$이다.