자연계열 A 2번

건국대 2024학년도 수시 자연계열 A 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2024su/jayeona_2

제시문 2

(가) $\displaystyle n$ 개 중에서 서로 같은 것이 각각 $\displaystyle p$ 개, $\displaystyle q$ 개, $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle r$ 개씩 있을 때, $\displaystyle n$ 개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{p!\times q!\times\cdots\times r!}$ 　(단, $\displaystyle p+q+\cdots+r=n$ )

(나) [조건 1] 또는 [조건 2]를 만족하도록 문자 A 3개, B 4개, C 3개, D 2개로 이루어진 12개의 문자 A, A, A, B, B, B, B, C, C, C, D, D를 왼쪽부터 일렬로 나열하자.[조건 1] 문자 D는 연속하여 나오지 않는다. 예를 들어, ABBCADABBCCD는 [조건 1]을 만족하고, ABBCADDABBCC는 [조건 1]을 만족하지 않는다.[조건 2] 처음 나오는 문자 A가 처음 나오는 문자 B보다 먼저 나온다. 예를 들어, CDACBBBBAACD는 [조건 2]를 만족하고, CDBAAABBBCDC는 [조건 2]를 만족하지 않는다.

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. [20점](1) (나)에서 [조건 1]을 만족하도록 나열하는 방법의 수를 구하고 풀이 과정을 쓰시오.(2) (나)에서 [조건 2]를 만족하도록 나열하는 방법의 수를 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

해설강의 준비중

건국대 2024학년도 수시 자연계열 A 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2024su/jayeona_2

[문제 2번] 답: (1) 231,000,　(2) 118,800

[풀이](1) 먼저 D가 연속하여 나타나는 경우의 수를 구한다. 이 경우 DD를 하나로 생각하면 D가 연속으로 나타나게 배열하는 방법의 수는 모두 $\displaystyle \frac{11!}{3!\times4!\times3!\times1!}$ 이다.따라서 문자 D가 연속하여 나타나지 않는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{12!}{3!\times4!\times3!\times2!}-\frac{11!}{3!\times4!\times3!\times1!}=\frac{5\times11!}{3!\times4!\times3!}=231,000$

(2) 다음과 같이 1단계, 2단계, 3단계로 분석하여 각 단계별 경우의 수를 구한다.(1단계) 먼저 12자리 중 문자 A와 B의 위치를 결정한다. A와 B가 총 7개이므로 12개의 자리에서 7자리를 택하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{12}\mathrm C_7$ 이다.

(2단계) 선택된 7자리에 문자 A와 B를 배치하는 방법의 수를 구한다.문자 A와 B의 위치가 결정되었을 때, 선택된 7자리 중 가장 왼쪽에 위치한 자리는 문자 A를 놓고 나머지 6자리에 2개의 문자 A와 4개의 문자 B를 배치하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{2!\times4!}$ 이다.

(3단계) 남은 자리 5개에 문자 C와 D를 배치한다. 문자 C가 3개, 문자 D가 2개이므로 $\displaystyle \frac{5!}{3!\times2!}$ 가지의 경우가 있다.따라서 1단계, 2단계, 3단계에 의해 [조건 2]를 만족하면서 A, B, C, D를 배열하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{12}\mathrm C_7\times\frac{6!}{2!\times4!}\times\frac{5!}{3!\times2!}=118,800$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
2	A+: (1)과 (2)의 답과 풀이가 맞음. A: (1)과 (2)의 풀이가 모두 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. B+: (1)의 답과 풀이가 맞고, (2)의 1단계를 맞게 구함. 또한 (2)의 2단계 또는 3단계를 맞게 구함, B: (1)의 답과 풀이가 맞고, (2)의 1단계를 맞게 구함. C: (1)의 답과 풀이가 맞음. D: (1)의 풀이가 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. E: 풀이와 관계있는 의미있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음.	20

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