자연계열 A 3번

[문제 3번] 답: 3

[풀이]

두 곡선의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a$라 하자. 즉, $\displaystyle e^{2a}=e^{-(a-t)}+1$이다.그러면, $\displaystyle S(t)=\int_0^a(e^{-(x-t)}+1-e^{2x})dx=-e^{-(a-t)}+a-\frac12e^{2a}+e^t+\frac12$이다.$\displaystyle t$에 대해 미분하면,$\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}\left(1-\frac{da}{dt}\right)+\frac{da}{dt}-e^{2a}\frac{da}{dt}+e^t=(e^{-(a-t)}+1-e^{2a})\frac{da}{dt}-e^{-(a-t)}+e^t$$\displaystyle e^{2a}=e^{-(a-t)}+1$이므로, $\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}+e^t$이다.$\displaystyle t=\ln6$일 때 $\displaystyle e^{2a}=6e^{-a}+1$이고, 따라서 $\displaystyle e^{3a}-e^a-6=0$이다.$\displaystyle b=e^a$라 하면, $\displaystyle b^3-b-6=0$이다. 따라서 $\displaystyle (b-2)(b^2+2b+3)=0$이고, $\displaystyle b=2$를 얻는다.$\displaystyle e^a=b=2$이므로, $\displaystyle t=\ln6$일 때 $\displaystyle a=\ln2$이다.따라서 $\displaystyle S^{\prime}(\ln6)=-e^te^{-a}+e^t=-6\times\frac12+6=3$이다.