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자연계열 A 3번

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건국대 2024학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2024su/jayeona_3

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문제

제시문 3

(가) 두 함수 y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=f(x),\ y=g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=f(x),\ y=g(x)와 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx\displaystyle \mathrm S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx이다.

(나) 그림에서 색칠된 도형은 두 곡선 y=e2x, y=e−(x−t)+1\displaystyle y=e^{2x},\ y=e^{-(x-t)}+1과 y\displaystyle y축으로 둘러싸인 도형이고, S(t)\displaystyle S(t)는 이 도형의 넓이이다. (t\displaystyle t는 양의 실수)

두 지수함수와 y축으로 둘러싸인 도형

[문제 3] (나)에서 t=ln⁡6\displaystyle t=\ln6에서의 미분계수 S′(ln⁡6)\displaystyle S^{\prime}(\ln6)을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [30점]

해설강의 준비중

건국대 2024학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2024su/jayeona_3

[문제 3번] 답: 3

[풀이]

교점의 x좌표 a와 넓이 S(t)

두 곡선의 교점의 x\displaystyle x좌표를 a\displaystyle a라 하자. 즉, e2a=e−(a−t)+1\displaystyle e^{2a}=e^{-(a-t)}+1이다.그러면, S(t)=∫0a(e−(x−t)+1−e2x)dx=−e−(a−t)+a−12e2a+et+12\displaystyle S(t)=\int_0^a(e^{-(x-t)}+1-e^{2x})dx=-e^{-(a-t)}+a-\frac12e^{2a}+e^t+\frac12이다.t\displaystyle t에 대해 미분하면,S′(t)=−e−(a−t)(1−dadt)+dadt−e2adadt+et=(e−(a−t)+1−e2a)dadt−e−(a−t)+et\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}\left(1-\frac{da}{dt}\right)+\frac{da}{dt}-e^{2a}\frac{da}{dt}+e^t=(e^{-(a-t)}+1-e^{2a})\frac{da}{dt}-e^{-(a-t)}+e^te2a=e−(a−t)+1\displaystyle e^{2a}=e^{-(a-t)}+1이므로, S′(t)=−e−(a−t)+et\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}+e^t이다.t=ln⁡6\displaystyle t=\ln6일 때 e2a=6e−a+1\displaystyle e^{2a}=6e^{-a}+1이고, 따라서 e3a−ea−6=0\displaystyle e^{3a}-e^a-6=0이다.b=ea\displaystyle b=e^a라 하면, b3−b−6=0\displaystyle b^3-b-6=0이다. 따라서 (b−2)(b2+2b+3)=0\displaystyle (b-2)(b^2+2b+3)=0이고, b=2\displaystyle b=2를 얻는다.ea=b=2\displaystyle e^a=b=2이므로, t=ln⁡6\displaystyle t=\ln6일 때 a=ln⁡2\displaystyle a=\ln2이다.따라서 S′(ln⁡6)=−ete−a+et=−6×12+6=3\displaystyle S^{\prime}(\ln6)=-e^te^{-a}+e^t=-6\times\frac12+6=3이다.

하위 문항채점 기준배점
3A+: 정답과 풀이가 맞음. A: 풀이가 모두 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. B+: S′(t)=−e−(a−t)+et\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}+e^t와 t=ln⁡6\displaystyle t=\ln6일 때 a=ln⁡2\displaystyle a=\ln2임을 구함. B: S′(t)=−e−(a−t)+et\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}+e^t를 구함. t=ln⁡6\displaystyle t=\ln6일 때 a\displaystyle a의 값을 구하였으나 틀림. C: S′(t)=−e−(a−t)+et\displaystyle S^{\prime}(t)=-e^{-(a-t)}+e^t를 구함. D: S(t)\displaystyle S(t)의 식을 맞게 구함. E: 풀이와 관계있는 의미있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음.30

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