자연계열 A 1번

(1-1) $\displaystyle f\prime(x)=t(-2xe^{-x^2})$이다. $\displaystyle f\prime\prime(x)=t(4x^2-2)e^{-x^2}$이므로 $\displaystyle f\prime\prime\left(\frac{\sqrt2}2\right)=0$이다.

$\displaystyle 0<x<\frac{\sqrt2}2$에서 $\displaystyle f\prime\prime(x)<0$, $\displaystyle x>\frac{\sqrt2}2$에서 $\displaystyle f\prime\prime(x)>0$이므로 Q의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$이다.

(1-2) 원점과 곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm R(x,te^{-x^2})$ 사이의 거리를 $\displaystyle d(x)$라 하면 $\displaystyle d(x)$가 최소이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle D(x)=\{d(x)\}^2=x^2+t^2e^{-2x^2}$이 최소인 것이다.$\displaystyle D\prime(x)=2x(1-2t^2e^{-2x^2})=0$을 만족하는 근을 $\displaystyle \alpha$라 하면, $\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{\ln(2t^2)}2}$이다.

$\displaystyle 0<x<\alpha$이면 $\displaystyle D\prime(x)<0$이고 $\displaystyle x>\alpha$이면 $\displaystyle D\prime(x)>0$이므로 는 $\displaystyle d(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$일 때 최소이다.

따라서 구하는 거리는 $\displaystyle \sqrt{\frac{\ln(2t^2)+1}2}$이다.

$\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{\alpha e^{\alpha^2}}t(x-\alpha)+te^{-\alpha^2}$이므로 식 $\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{\ln(2t^2)}2}$으로부터 $\displaystyle r=\alpha+\frac1{2\alpha}$이 되고,

$\displaystyle \alpha+\frac1{2\alpha}\ge2\sqrt{\alpha\frac1{2\alpha}}=\sqrt2$로부터 $\displaystyle r$는 $\displaystyle \alpha=\frac1{2\alpha}$일 때 최소가 된다.

$\displaystyle 1=2\alpha^2=\ln(2t^2)$이므로 $\displaystyle t=\sqrt{\frac e2}>\frac{\sqrt2}2$이고, 이 때 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{\ln(2t^2)}2}=\frac{\sqrt2}2$이다.