자연계열 A 2번

(2-1) 주어진 식에서 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 교환하면 $\displaystyle f(y)-f(x)\le(y-x)g(y)$이다.

따라서 $\displaystyle (x-y)g(y)\le f(x)-f(y)$이다.

(2-2) $\displaystyle (x-y)g(y)\le f(x)-f(y)\le(x-y)g(x)$에서 $\displaystyle x>y$이면 $\displaystyle g(y)\le\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le g(x)$이다.

$\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 $\displaystyle \lim_{y\to x-}g(y)\le\lim_{y\to x-}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le\lim_{y\to x-}g(x)$이므로 $\displaystyle g(x)\le f\prime(x)\le g(x)$이다.

따라서 $\displaystyle g\prime(x)\ge0$이 되고 $\displaystyle f\prime\prime(x)\ge0$이다.

$\displaystyle 2f\prime\prime(x)+f\prime\prime(-2x)=0$에서 $\displaystyle f\prime\prime(x)=0$을 얻는다.

$\displaystyle 4f\prime(x)-f\prime(-2x)=0$에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle 4f\prime(0)-f\prime(0)=0$이 되어 $\displaystyle f\prime(0)=0$이다.즉 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f\prime(x)=0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 상수함수이다.

그런데 $\displaystyle 8f(0)+f(0)=18$이므로 $\displaystyle f(0)=2$이다. 그러므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=2$이다.