자연계열 B 2번

(2-1) $\displaystyle u=2^x$으로 치환하면 $\displaystyle du=2^x\ln2\,dx$이므로 $\displaystyle \int_1^3 2^xf(2^x)\,dx=\frac1{\ln2}\int_2^8f(u)\,du$이다.

$\displaystyle \int_2^4f(x)\,dx=\int_1^2f(2y)2\,dy=8\int_1^2f(y)\,dy=48$이고 $\displaystyle \int_4^8f(x)\,dx=\int_2^4f(2y)2\,dy=8\int_2^4f(y)\,dy=384$이다.

따라서 $\displaystyle \int_2^8f(x)\,dx=\int_2^4f(x)\,dx+\int_4^8f(x)\,dx=432$이다. 그러므로 $\displaystyle \int_1^3 2^xf(2^x)\,dx=\frac1{\ln2}\int_2^8f(u)\,du=\frac{432}{\ln2}$이다.

(2-2) $\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx$에서 $\displaystyle u=\frac x2$로 치환하면 $\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx=\int_0^1f(2u)2\,du=\int_0^1 8f(u)\,du=8\int_0^1f(x)\,dx$이다.

$\displaystyle 8\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^2f(x)\,dx=\int_0^1f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx=6+\int_0^1f(x)\,dx$이므로 $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\frac67$이다.

(2-3) $\displaystyle f(2x)=4f(x)$에서 $\displaystyle 2f\prime(2x)=4f\prime(x)$이다. 따라서 $\displaystyle f(2)=4f(1)$이고 $\displaystyle f\prime(2)=2f\prime(1)$이다.

$\displaystyle g(x)=x^3+ax^2+bx+c$라 하자. $\displaystyle g\prime(x)=3x^2+2ax+b$이다.$\displaystyle g(2)=4g(1)$, $\displaystyle g\prime(2)=2g\prime(1)$이므로 $\displaystyle 2b+3c=4$, $\displaystyle b=6$이다. 따라서 $\displaystyle c=-\frac83$이다.$\displaystyle \int_1^2\left(x^3+ax^2+6x-\frac83\right)\,dx=6$에서 $\displaystyle a=-\frac74$이다. 그러므로 $\displaystyle g(x)=x^3-\frac74x^2+6x-\frac83$이다.