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자연계열 C 1번

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세종대 2022학년도 수시 자연계열 C 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022su/jayeonc_1

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[문제 1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=2ex−e−x\displaystyle f(x)=2e^x-e^{-x}에 대하여 다음 물음에 각각 답하시오.

(1-1) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 존재함을 보이시오. (70점)

(1-2) 함수 F(x)=∫0xtf−1(t) dt\displaystyle F(x)=\int_0^x tf^{-1}(t)\,dt는 x=1\displaystyle x=1에서 극솟값을 가짐을 보이시오. (80점)

(1-3) F(1)\displaystyle F(1)의 값을 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2022학년도 수시 자연계열 C 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022su/jayeonc_1

+40점 · f′(x)=2ex+e−x>0\displaystyle f\prime(x)=2e^x+e^{-x}>0을 보이면

(1-1) f′(x)=2ex+e−x>0\displaystyle f\prime(x)=2e^x+e^{-x}>0이므로 f(x)\displaystyle f(x)는 증가함수이다.

+30점 · “y=f(x)\displaystyle y=f(x)는 일대일대응(또는 일대일함수 또는 증가함수)이므로 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 존재한다”를 서술하면

따라서 y=f(x)\displaystyle y=f(x)는 일대일대응이다.그러므로 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 존재한다.

+20점 · f−1(1)=0\displaystyle f^{-1}(1)=0을 보이면

(1-2) f−1(1)=a\displaystyle f^{-1}(1)=a라 하면 1=f(a)=2ea−e−a\displaystyle 1=f(a)=2e^a-e^{-a}이다.ea=A\displaystyle e^a=A라 놓으면 0=2A2−A−1=(A−1)(2A+1)\displaystyle 0=2A^2-A-1=(A-1)(2A+1)로부터 1=A=ea\displaystyle 1=A=e^a이고 a=0\displaystyle a=0이다.

+20점 · F′(1)=f−1(1)=0\displaystyle F\prime(1)=f^{-1}(1)=0을 보이면

F′(x)=xf−1(x)\displaystyle F\prime(x)=xf^{-1}(x)로부터 F′(1)=f−1(1)=0\displaystyle F\prime(1)=f^{-1}(1)=0이다.

+20점 · F′′(x)=f−1(x)+xf′(f−1(x))\displaystyle F\prime\prime(x)=f^{-1}(x)+\frac x{f\prime(f^{-1}(x))}를 구하면

F′′(x)=f−1(x)+x{f−1(x)}′=f−1(x)+xf′(f−1(x))\displaystyle F\prime\prime(x)=f^{-1}(x)+x\{f^{-1}(x)\}\prime=f^{-1}(x)+\frac x{f\prime(f^{-1}(x))}이므로

+20점 · F′′(1)=f−1(1)+1f′(f−1(1))=13>0\displaystyle F\prime\prime(1)=f^{-1}(1)+\frac1{f\prime(f^{-1}(1))}=\frac13>0임을 보이면

F′′(1)=f−1(1)+1f′(f−1(1))=13>0\displaystyle F\prime\prime(1)=f^{-1}(1)+\frac1{f\prime(f^{-1}(1))}=\frac13>0이다. 따라서 F(x)\displaystyle F(x)는 x=1\displaystyle x=1에서 극솟값을 갖는다.

(1-3) f−1(0)=a\displaystyle f^{-1}(0)=a라 하면 0=f(a)=2ea−e−a\displaystyle 0=f(a)=2e^a-e^{-a}이다. ea=A\displaystyle e^a=A라 놓으면 0=2A2−1\displaystyle 0=2A^2-1로부터 12=A=ea\displaystyle \frac1{\sqrt2}=A=e^a이고 a=ln⁡12\displaystyle a=\ln\frac1{\sqrt2}이다.

+20점 · ∫01xf−1(x) dx=[12x2f−1(x)]01−∫0112x2{f−1(x)}′ dx=−∫0112x21f′(f−1(x)) dx\displaystyle \int_0^1xf^{-1}(x)\,dx=\Biggl[\frac12x^2f^{-1}(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1\frac12x^2\{f^{-1}(x)\}\prime\,dx=-\int_0^1\frac12x^2\frac1{f\prime(f^{-1}(x))}\,dx를 보이면

∫01xf−1(x) dx=[12x2f−1(x)]01−∫0112x2{f−1(x)}′ dx=−∫0112x21f′(f−1(x)) dx\displaystyle \int_0^1xf^{-1}(x)\,dx=\Biggl[\frac12x^2f^{-1}(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1\frac12x^2\{f^{-1}(x)\}\prime\,dx=-\int_0^1\frac12x^2\frac1{f\prime(f^{-1}(x))}\,dx

(t=f−1(x)\displaystyle t=f^{-1}(x)로 치환, x=f(t)\displaystyle x=f(t), dx=f′(t) dt\displaystyle dx=f\prime(t)\,dt)

+30점 · −∫ln⁡12012(2et−e−t)2 dt\displaystyle -\int_{\ln\frac1{\sqrt2}}^0\frac12(2e^t-e^{-t})^2\,dt를 보이면
+30점 · 답 ln⁡2−34\displaystyle \ln2-\frac34을 구하면

=−∫f−1(0)f−1(1)12{f(t)}21f′(t)f′(t) dt=−∫f−1(0)f−1(1)12(2et−e−t)2 dt=−∫ln⁡12012(2et−e−t)2 dt=ln⁡2−34\displaystyle =-\int_{f^{-1}(0)}^{f^{-1}(1)}\frac12\{f(t)\}^2\frac1{f\prime(t)}f\prime(t)\,dt=-\int_{f^{-1}(0)}^{f^{-1}(1)}\frac12(2e^t-e^{-t})^2\,dt=-\int_{\ln\frac1{\sqrt2}}^0\frac12(2e^t-e^{-t})^2\,dt=\ln2-\frac34

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