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자연계열 C 2번

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세종대 2022학년도 수시 자연계열 C 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022su/jayeonc_2

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[문제 2] 시각 t>0\displaystyle t>0에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 다음과 같이 정의하자.

f(x)=t(x−t)(x−t−1)\displaystyle f(x)=t(x-t)(x-t-1)

점 Q(t,0)\displaystyle \mathrm Q(t,0)에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)에 접하는 직선을 L\displaystyle L이라 하자.

중심 Z가 제4사분면에 있는 원 C\displaystyle C는 y\displaystyle y축에 접하며 점 Q에서 직선 L\displaystyle L에도 접한다.

(2-1) 시각 t\displaystyle t에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 직선 L\displaystyle L 및 y\displaystyle y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 t\displaystyle t에 대한 식으로 나타내시오. (70점)

(2-2) 시각 t\displaystyle t에서 원 C\displaystyle C의 중심 Z의 좌표를 (a(t),b(t))\displaystyle (a(t),b(t))라 할 때, lim⁡t→∞t{b(t)}2a(t)\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t\{b(t)\}^2}{a(t)}을 구하시오. (80점)

(2-3) 시각 t\displaystyle t에서 원 C\displaystyle C가 x\displaystyle x축과 만나는 점 중에서 Q가 아닌 점을 P라 하고, ∠PZQ\displaystyle \angle\mathrm{PZQ}를 θ\displaystyle \theta라 하자. 시각 t1\displaystyle t_1, t2\displaystyle t_2 (0<t1<t2\displaystyle 0<t_1<t_2)에서 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta의 값이 같고, t1+t2=14\displaystyle t_1+t_2=14일 때 t1\displaystyle t_1의 값을 구하시오. (80점)

포물선의 접선과 y축에 접하는 원 C
해설강의 준비중

세종대 2022학년도 수시 자연계열 C 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022su/jayeonc_2

+10점

(2-1) f′(x)=t(2x−2t−1)\displaystyle f\prime(x)=t(2x-2t-1)이므로, f′(t)=−t\displaystyle f\prime(t)=-t이다.

+20점

따라서 직선 L\displaystyle L의 방정식은 y=−t(x−t)\displaystyle y=-t(x-t)이고,

+40점 · 도형의 넓이 =t43\displaystyle =\frac{t^4}3

구하는 도형의 넓이는 ∫0t{t(x−t)(x−t−1)+t(x−t)} dx=t43\displaystyle \int_0^t\{t(x-t)(x-t-1)+t(x-t)\}\,dx=\frac{t^4}3이다.

(2-2) f′(t)=−t\displaystyle f\prime(t)=-t이므로, 점 Q에서 직선 L\displaystyle L에 수직인 직선의 방정식은 y=1t(x−t)\displaystyle y=\frac1t(x-t), 즉 x=ty+t\displaystyle x=ty+t이다.

원 C\displaystyle C가 점 Q(t,0)\displaystyle \mathrm Q(t,0)을 지나고, 중심이 이 직선 상에 있으므로, 다음 두 식이 성립한다.

(t−a)2+b2=a2,a=t(b+1)\displaystyle (t-a)^2+b^2=a^2,\quad a=t(b+1)

+40점 · a(t)=tt2+1(t2+1−t)\displaystyle a(t)=t\sqrt{t^2+1}(\sqrt{t^2+1}-t) 또는 b(t)=−t(t2+1−t)\displaystyle b(t)=-t(\sqrt{t^2+1}-t)를 구하면

이 식을 풀면, b(t)=−t(t2+1−t)\displaystyle b(t)=-t(\sqrt{t^2+1}-t), a(t)=tt2+1(t2+1−t)=−t2+1b(t)\displaystyle a(t)=t\sqrt{t^2+1}(\sqrt{t^2+1}-t)=-\sqrt{t^2+1}b(t)이다.

+20점

t{b(t)}2a(t)=t2t2+1(t2+1+t)\displaystyle \frac{t\{b(t)\}^2}{a(t)}=\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}(\sqrt{t^2+1}+t)}

+20점

이 되므로, lim⁡t→∞t{b(t)}2a(t)=12\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t\{b(t)\}^2}{a(t)}=\frac12이다.

(2-3) 시각 t\displaystyle t에서 H=(a,0)\displaystyle \mathrm H=(a,0)이라 하면

∠PZH=θ2\displaystyle \angle\mathrm{PZH}=\frac\theta2이다. ZP‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{ZP}}=a, ZH‾=−b\displaystyle \overline{\mathrm{ZH}}=-b이므로, cos⁡θ2=−ba=1t2+1\displaystyle \cos\frac\theta2=-\frac ba=\frac1{\sqrt{t^2+1}}이다.

0<θ<π\displaystyle 0<\theta<\pi이므로 sin⁡θ2=1−cos⁡2θ2=tt2+1\displaystyle \sin\frac\theta2=\sqrt{1-\cos^2\frac\theta2}=\frac t{\sqrt{t^2+1}}이다.

+40점 · sin⁡θ=2tt2+1\displaystyle \sin\theta=\frac{2t}{t^2+1}

따라서, 시각 t\displaystyle t에서 sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2=2tt2+1\displaystyle \sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=\frac{2t}{t^2+1}이다.

+30점

시각 t1\displaystyle t_1, t2\displaystyle t_2 (0<t1<t2\displaystyle 0<t_1<t_2)에서 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta의 값이 동일하므로, 2t1t12+1=2t2t22+1\displaystyle \frac{2t_1}{t_1^2+1}=\frac{2t_2}{t_2^2+1}가 성립하고, 이 식으로부터 t1t2=1\displaystyle t_1t_2=1이 나온다.

+10점

그런데 t1+t2=14\displaystyle t_1+t_2=14이므로, t1\displaystyle t_1, t2\displaystyle t_2는 t2−14t+1=0\displaystyle t^2-14t+1=0의 해가 되어, t1=7−43\displaystyle t_1=7-4\sqrt3이다.

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