자연계열 C 2번

(2-1) $\displaystyle f\prime(x)=t(2x-2t-1)$이므로, $\displaystyle f\prime(t)=-t$이다.

따라서 직선 $\displaystyle L$의 방정식은 $\displaystyle y=-t(x-t)$이고,

구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_0^t\{t(x-t)(x-t-1)+t(x-t)\}\,dx=\frac{t^4}3$이다.

이 식을 풀면, $\displaystyle b(t)=-t(\sqrt{t^2+1}-t)$, $\displaystyle a(t)=t\sqrt{t^2+1}(\sqrt{t^2+1}-t)=-\sqrt{t^2+1}b(t)$이다.

$\displaystyle \frac{t\{b(t)\}^2}{a(t)}=\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}(\sqrt{t^2+1}+t)}$이 되므로, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t\{b(t)\}^2}{a(t)}=\frac12$이다.

따라서, 시각 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle \sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=\frac{2t}{t^2+1}$이다.

시각 $\displaystyle t_1$, $\displaystyle t_2$ ($\displaystyle 0<t_1<t_2$)에서 $\displaystyle \sin\theta$의 값이 동일하므로, $\displaystyle \frac{2t_1}{t_1^2+1}=\frac{2t_2}{t_2^2+1}$가 성립하고, 이 식으로부터 $\displaystyle t_1t_2=1$이 나온다.

그런데 $\displaystyle t_1+t_2=14$이므로, $\displaystyle t_1$, $\displaystyle t_2$는 $\displaystyle t^2-14t+1=0$의 해가 되어, $\displaystyle t_1=7-4\sqrt3$이다.