자연계열 B 1번

(1-1) 시각 $\displaystyle t=0$에서 코사인법칙을 사용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^2=1^2+(2\sqrt2)^2-2\cdot1\cdot2\sqrt2\cos\frac\pi4=5$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt5$이다.

사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\sin\mathrm C}{2\sqrt2}=\frac{\sin\frac\pi4}{\sqrt5}$이므로, $\displaystyle \sin\mathrm C=\frac{2\sqrt5}5$이다.

(1-2) 시간 $\displaystyle t$에서 삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라고 하면, 조건으로부터 $\displaystyle S\prime(t)=\frac43t+6$이므로 $\displaystyle S(t)=\frac23t^2+6t+K$ ($\displaystyle K$는 실수)이다. 조건에 의해 $\displaystyle S(0)=\frac12\cdot1\cdot2\sqrt2\cdot\sin\frac\pi4=1$이므로 $\displaystyle K=1$이고 $\displaystyle S(t)=\frac23t^2+6t+1$이 된다.

한편 $\displaystyle S(t)=\frac12\cdot\ell(t)\cdot2\sqrt2\ell(t)\sin\frac\pi4=\{\ell(t)\}^2$이므로, $\displaystyle \ell(t)=\sqrt{\frac23t^2+6t+1}$이고

$\displaystyle \frac{\ell(t)}t=\sqrt{\frac23+\frac6t+\frac1{t^2}}$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\ell(t)}t=\frac{\sqrt6}3$이다.

$\displaystyle T_1(t)=\{\ell(t)\}^2=S(t)$이고, $\displaystyle T(t)=2S(t)$가 된다.

(1-2)번 풀이의 $\displaystyle \ell(t)=\sqrt{\frac23t^2+6t+1}$로부터, $\displaystyle \ell(t)=5$이면 $\displaystyle t=3$이다.

$\displaystyle S\prime(t)=\frac43t+6$이므로, $\displaystyle S\prime(3)=10$이 되고, 따라서 $\displaystyle T\prime(3)=20$이다.