수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 B 1번

세종대 2022학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022su/jayeonb_1

이전 문제
배점230점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

🔒
짧은 시간에 너무 많은 문제를 여셔서 열람을 잠시 제한했습니다. 잠시 후 다시 시도하시거나 로그인해 주세요.
해설강의 준비중

세종대 2022학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022su/jayeonb_1

+35점 · AC‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt5

(1-1) 시각 t=0\displaystyle t=0에서 코사인법칙을 사용하면 AC‾2=12+(22)2−2⋅1⋅22cos⁡π4=5\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^2=1^2+(2\sqrt2)^2-2\cdot1\cdot2\sqrt2\cos\frac\pi4=5이다.따라서 AC‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt5이다.

+35점 · sin⁡C=255\displaystyle \sin\mathrm C=\frac{2\sqrt5}5

사인법칙에 의해 sin⁡C22=sin⁡π45\displaystyle \frac{\sin\mathrm C}{2\sqrt2}=\frac{\sin\frac\pi4}{\sqrt5}이므로, sin⁡C=255\displaystyle \sin\mathrm C=\frac{2\sqrt5}5이다.

+20점 · S(t)={ℓ(t)}2\displaystyle S(t)=\{\ell(t)\}^2 또는 S(t)=23t2+6t+1\displaystyle S(t)=\frac23t^2+6t+1

(1-2) 시간 t\displaystyle t에서 삼각형 ABC의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t)라고 하면, 조건으로부터 S′(t)=43t+6\displaystyle S\prime(t)=\frac43t+6이므로 S(t)=23t2+6t+K\displaystyle S(t)=\frac23t^2+6t+K (K\displaystyle K는 실수)이다. 조건에 의해 S(0)=12⋅1⋅22⋅sin⁡π4=1\displaystyle S(0)=\frac12\cdot1\cdot2\sqrt2\cdot\sin\frac\pi4=1이므로 K=1\displaystyle K=1이고 S(t)=23t2+6t+1\displaystyle S(t)=\frac23t^2+6t+1이 된다.

+30점 · ℓ(t)=23t2+6t+1\displaystyle \ell(t)=\sqrt{\frac23t^2+6t+1}

한편 S(t)=12⋅ℓ(t)⋅22ℓ(t)sin⁡π4={ℓ(t)}2\displaystyle S(t)=\frac12\cdot\ell(t)\cdot2\sqrt2\ell(t)\sin\frac\pi4=\{\ell(t)\}^2이므로, ℓ(t)=23t2+6t+1\displaystyle \ell(t)=\sqrt{\frac23t^2+6t+1}이고

+30점 · lim⁡t→∞ℓ(t)t=63\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\ell(t)}t=\frac{\sqrt6}3

ℓ(t)t=23+6t+1t2\displaystyle \frac{\ell(t)}t=\sqrt{\frac23+\frac6t+\frac1{t^2}}이다. 따라서 lim⁡t→∞ℓ(t)t=63\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\ell(t)}t=\frac{\sqrt6}3이다.

(1-3) 삼각형 ABC에 대하여 외접원의 반지름을 R(t)\displaystyle R(t)라 하면, 2R(t)=AB‾sin⁡C=22ℓ(t)2/5\displaystyle 2R(t)=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\mathrm C}=\frac{2\sqrt2\ell(t)}{2/\sqrt5}가 성립하므로, R(t)=52ℓ(t)\displaystyle R(t)=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}\ell(t)이다. 사각형 ZBCA의 넓이를 T(t)\displaystyle T(t), 삼각형 ABC의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t), 삼각형 ZAB의 넓이를 T1(t)\displaystyle T_1(t)라 하면, T(t)=S(t)+T1(t)\displaystyle T(t)=S(t)+T_1(t)이고 (1-2)번 풀이에서 S(t)={ℓ(t)}2\displaystyle S(t)=\{\ell(t)\}^2임을 구했으므로, T1(t)\displaystyle T_1(t)를 구하면 된다. T1(t)=12{R(t)}2sin⁡(∠AZB)\displaystyle T_1(t)=\frac12\{R(t)\}^2\sin(\angle\mathrm{AZB})인데,

cos⁡(∠AZB)=2{R(t)}2−8{ℓ(t)}22{R(t)}2=−35\displaystyle \cos(\angle\mathrm{AZB})=\frac{2\{R(t)\}^2-8\{\ell(t)\}^2}{2\{R(t)\}^2}=-\frac35이므로 sin⁡(∠AZB)=45\displaystyle \sin(\angle\mathrm{AZB})=\frac45가 되어,

+40점 · T(t)=2S(t)\displaystyle T(t)=2S(t), T(t)=2{ℓ(t)}2\displaystyle T(t)=2\{\ell(t)\}^2 또는 T(t)=43t2+12t+2\displaystyle T(t)=\frac43t^2+12t+2

T1(t)={ℓ(t)}2=S(t)\displaystyle T_1(t)=\{\ell(t)\}^2=S(t)이고, T(t)=2S(t)\displaystyle T(t)=2S(t)가 된다.

+20점 · ℓ(t)=5\displaystyle \ell(t)=5이면 t=3\displaystyle t=3

(1-2)번 풀이의 ℓ(t)=23t2+6t+1\displaystyle \ell(t)=\sqrt{\frac23t^2+6t+1}로부터, ℓ(t)=5\displaystyle \ell(t)=5이면 t=3\displaystyle t=3이다.

+20점 · T′(3)=20\displaystyle T\prime(3)=20

S′(t)=43t+6\displaystyle S\prime(t)=\frac43t+6이므로, S′(3)=10\displaystyle S\prime(3)=10이 되고, 따라서 T′(3)=20\displaystyle T\prime(3)=20이다.

(1-1) [별해] ※ k\displaystyle k는 다른 기호 사용 가능

AC‾=5k\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt5k (+35점)

sin⁡C=255\displaystyle \sin\mathrm C=\frac{2\sqrt5}5 (+35점)

이 문항 오류 제보

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.