자연계열 B 3번

(3-1) 조건 (가)에서 $\displaystyle 0<x<\pi$일 때 $\displaystyle f\prime(\cos x)=e^x$이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle g\prime(x)=f\prime(\cos x)(-\sin x)=-e^x\sin x$

양변을 적분하면 $\displaystyle f(\cos x)=g(x)=\frac12e^x(\cos x-\sin x)+C$이다.

이 식의 양변에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f(1)=g(0)=\frac12+C$인데 조건 (나)를 이용하면 $\displaystyle C=0$이다.따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle g(x)=\frac12e^x(\cos x-\sin x)\quad(0\le x\le\pi)$

(3-2) $\displaystyle \pi\le x\le2\pi$일 때 $\displaystyle 0\le2\pi-x\le\pi$이고 $\displaystyle g(2\pi-x)=f(\cos(2\pi-x))=f(\cos x)=g(x)$이므로 곡선 $\displaystyle y=g(x)$는 직선 $\displaystyle x=\pi$에 대칭이다.

그러므로 (3-1)에서 구한 $\displaystyle 0\le x\le\pi$일 때 의 $\displaystyle g(x)$의 식에 $\displaystyle x$대신 $\displaystyle 2\pi-x$를 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle g(x)=g(2\pi-x)=\frac12e^{2\pi-x}\{\cos(2\pi-x)-\sin(2\pi-x)\}=\frac12e^{2\pi-x}(\cos x+\sin x)\quad(\pi\le x\le2\pi)$

또한 $\displaystyle g\prime\prime(x)=-e^x(\cos x+\sin x)$이므로 $\displaystyle g\prime\prime(x)=0$일 때를 생각하면 $\displaystyle \cos x+\sin x=0$, 즉 $\displaystyle \tan x=-1$이므로 $\displaystyle x=\frac{3\pi}4$이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac{3\pi}4$일 때 변곡점이 되고, $\displaystyle 0<x<\frac{3\pi}4$일 때 $\displaystyle g\prime\prime(x)<0$이므로 위로 볼록하고, $\displaystyle \frac{3\pi}4<x<\pi$일 때 $\displaystyle g\prime\prime(x)>0$이므로 아래로 볼록하다.

이제 $\displaystyle 0\le x\le\pi$일 때 이 곡선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 구하기 위해 $\displaystyle g(x)=\frac12e^x(\cos x-\sin x)=0$을 풀면 $\displaystyle \cos x-\sin x=0$에서 $\displaystyle \tan x=1$이다.$\displaystyle 0\le x\le\pi$이므로 $\displaystyle x=\frac\pi4$이다. 즉, 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac\pi4$뿐이다.

$\displaystyle g\prime(\pi)=0$이고, 그래프의 대칭성을 생각하면 구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 이 곡선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac\pi4$와 $\displaystyle \frac{7\pi}4$이고 변곡점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{3\pi}4$와 $\displaystyle \frac{5\pi}4$이다.

또한 $\displaystyle m=g(\pi)=-\frac{e^\pi}2$, $\displaystyle M=g(0)=g(2\pi)=\frac12$이다.

(3-3) $\displaystyle h(k)=\pi$일 때 직선 $\displaystyle y=k$가 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 만나서 생기는 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac\pi2$와 $\displaystyle \frac{3\pi}2$이다. 이 때 $\displaystyle k=g\left(\frac\pi2\right)=-\frac12e^{\frac\pi2}$이다.

곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 대칭성을 이용하면 $\displaystyle g\left(\pi-\frac12h(t)\right)=t$이고,

이 식의 양변을 미분하면 $\displaystyle -\frac12g\prime\left(\pi-\frac12h(t)\right)h\prime(t)=1$이므로 $\displaystyle h\prime(t)=-\frac2{g\prime\left(\pi-\frac12h(t)\right)}$이다.

이 식에 $\displaystyle t=k$, $\displaystyle h(k)=\pi$를 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle h\prime(k)=-\frac2{g\prime\left(\frac\pi2\right)}=-\frac2{-e^{\frac\pi2}\sin\frac\pi2}=2e^{-\frac\pi2}$