자연계열 C 3번

(3-1) $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 아래로 볼록하므로 문제의 조건에 부합하는 가장 짧은 경로는 $\displaystyle 0\le x\le a$일 때는 A와 $\displaystyle (x,f(x))$를 잇는 선분이며, $\displaystyle a<x\le2a$일 때는 A와 $\displaystyle (a,f(a))$를 선분으로 연결한 후 곡선 $\displaystyle y=f(x)$를 따라 이동해야 한다. 따라서 $\displaystyle \ell(x)$는 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle \ell(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2+\{f(x)+\sqrt2\}^2}&(0\le x\le a)\\\sqrt{a^2+\{f(a)+\sqrt2\}^2}+\int_a^x\sqrt{1+\{f\prime(t)\}^2}\,dt&(a<x\le2a)\end{cases}$

점 $\displaystyle (a,f(a))$에서 $\displaystyle y=f(x)$에 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f\prime(a)(x-a)+f(a)$이므로 접선이 A를 지나기 위해서는 $\displaystyle -af\prime(a)+f(a)=-\sqrt2$이다.

$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{\ell(a+h)-\ell(a)}h=\sqrt{1+\{f\prime(a)\}^2}$이고$\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{\ell(a+h)-\ell(a)}h=\frac12\frac{2a+2\{f(a)+\sqrt2\}f\prime(a)}{\sqrt{a^2+\{f(a)+\sqrt2\}^2}}=\frac{a+a\{f\prime(a)\}^2}{\sqrt{a^2+a^2\{f\prime(a)\}^2}}=\sqrt{1+\{f\prime(a)\}^2}$이므로$\displaystyle \ell(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하고 $\displaystyle \ell\prime(a)=\sqrt{1+\{f\prime(a)\}^2}$이다.

(3-2) $\displaystyle \ell(a)=\sqrt{a^2+\{f(a)+\sqrt2\}^2}=\sqrt{a^2+\{af\prime(a)\}^2}=a\sqrt{1+\{f\prime(a)\}^2}=a\ell\prime(a)$이다.

따라서 $\displaystyle \frac{a^3}3+a^2+\frac53=\ell(a)=a\ell\prime(a)=a(a^2+2a)$이다.따라서 $\displaystyle \frac13(2a^3+3a^2-5)=\frac13(a-1)(2a^2+5a+5)=0$을 얻고, $\displaystyle a=1$이다.

그런데 $\displaystyle \ell(1)=\frac13+1+\frac53=3=\sqrt{1+\{f(1)+\sqrt2\}^2}$이므로 $\displaystyle f(1)=\sqrt2$이고 접점은 $\displaystyle (1,\sqrt2)$이다.

(3-3) ($\displaystyle 1\le x\le2$인 경우)$\displaystyle \ell\prime(x)=\sqrt{1+\{f\prime(x)\}^2}=x^2+2x$이므로$\displaystyle \{f\prime(x)\}^2=(x^2+2x)^2-1=(x+1)^2(x^2+2x-1)$이다. 그런데 $\displaystyle f\prime(x)>0$이므로 $\displaystyle f\prime(x)=(1+x)\sqrt{x^2+2x-1}$이다.

$\displaystyle f\prime(x)$를 적분하여 $\displaystyle f(x)=\frac13(x^2+2x-1)^{3/2}+C$를 얻는다.

그런데 $\displaystyle f(1)=\sqrt2$이므로 $\displaystyle C=\frac{\sqrt2}3$이다.

($\displaystyle 0\le x\le1$인 경우)$\displaystyle \ell(x)=\sqrt{x^2+\{f(x)+\sqrt2\}^2}=\frac{x^3}3+x^2+\frac53$이다.

따라서 $\displaystyle \{f(x)+\sqrt2\}^2=\left(\frac{x^3}3+x^2+\frac53\right)^2-x^2$인데 $\displaystyle f(x)>0$이므로$\displaystyle f(x)=\left\{\left(\frac{x^3}3+x^2+\frac53\right)^2-x^2\right\}^{1/2}-\sqrt2$이다.