자연계열 A 3번

(3-1) $\displaystyle G(x)=\int_1^xg(t)\,dt$라 정의하면 $\displaystyle G(x)$는 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle G(x)\ge0$이며 $\displaystyle G(1)=0$이다. 따라서 $\displaystyle G(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극솟값 $\displaystyle 0$을 가진다.

그런데 는 미분가능한 함수이므로 $\displaystyle G\prime(1)=0$이고, 적분과 미분의 관계를 이용하면 $\displaystyle G\prime(x)=g(x)$이므로 $\displaystyle g(1)=G\prime(1)=0$이다.

$\displaystyle f(x)=g(x)e^{-x}$이므로 $\displaystyle f(1)=g(1)e^{-1}=0$이다.

(3-2) (3-1)의 결과와 조건 (나)로부터 $\displaystyle f(1)=f(3)=0$이다. 만일 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 실근 $\displaystyle x=3$이 중근이 아니면 $\displaystyle x=3$을 경계로 함수 $\displaystyle g(x)$의 부호가 바뀌므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 가질 수 없다. 따라서 조건 (나)에 의해 $\displaystyle f(x)=(x-1)(x-3)^2$이다.

이 때 $\displaystyle g(x)=(x-1)(x-3)^2e^x$이고 $\displaystyle g\prime(x)=(x+1)(x-2)(x-3)e^x$, $\displaystyle g\prime\prime(x)=(x-1)(x^2-7)e^x$이다. 이를 이용하여 증감표를 작성하면 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1$, $\displaystyle 3$에서 극소, $\displaystyle x=2$에서 극대이며 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle \pm\sqrt7$에서 변곡점을 갖는다.

$\displaystyle g(1)=g(3)=0$이고 $\displaystyle x<1$일 때 $\displaystyle g(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 다음과 같다.

(3-3) 방정식 $\displaystyle g\prime(t)=\frac{g(x+1)-g(t)}{x-t}$는 $\displaystyle g\prime(t)(x-t)+g(t)=g(x+1)$ ($\displaystyle x\ne t$)와 같으므로 $\displaystyle h(t)$는 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,g(t))$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$과 만나는 점 중 $\displaystyle (t,g(t))$가 아닌 점의 개수이다.

그래프를 이용하여 구간 $\displaystyle [2,3]$에 속하는 $\displaystyle t$ 중에서 $\displaystyle h(t)=2$를 만족시키는 $\displaystyle t$를 찾으면 된다. 일단 $\displaystyle t=2$일 때 아래 그림과 같이 점 $\displaystyle (2,g(2))$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$과 두 점에서 만나며, 그 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 2$가 아니다. 따라서 $\displaystyle h(2)=2$이다.

이제 $\displaystyle t>2$인 경우를 생각하기 위해 $\displaystyle t$를 조금씩 증가시켜 보면 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,g(t))$에서의 접선의 기울기는 음수이며 점점 감소하다가 변곡점인 $\displaystyle (\sqrt7,g(\sqrt7))$에서 최소가 된다. 이때까지의 접선은 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$과 계속 한 점에서만 만난다. 그 이후에는 기울기가 다시 증가하기 시작하지만 기울기는 여전히 음수이고 접선은 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$과 한동안 계속 한 점에서만 만나게 된다. 그렇지만 결국 아래 그림과 같이 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (\alpha,g(\alpha))$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$과도 접하게 되는 $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \sqrt7$과 $\displaystyle 3$ 사이에 유일하게 존재하며, 이 때 접선과 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$은 서로 다른 두 점에서 만난다.

이 경우 $\displaystyle \frac52<\sqrt7<\alpha<3$이므로 $\displaystyle (\alpha-3)^2<(\alpha-2)^2$이고 다음이 성립한다.$\displaystyle g(\alpha)=(\alpha-1)(\alpha-3)^2e^\alpha<\alpha(\alpha-2)^2e^{\alpha+1}=g(\alpha+1)$따라서 아래 그림에서 점 $\displaystyle (\alpha,g(\alpha))$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$이 만나는 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 모두 $\displaystyle \alpha$보다 작다. 그러므로 $\displaystyle 2<t<\alpha$일 때 $\displaystyle h(t)\le1$이고, $\displaystyle h(\alpha)=2$이다.

$\displaystyle t=3$일 때는 아래 그림과 같이 점 $\displaystyle (3,g(3))$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle y=g(x+1)$과 두 점에서 만나며 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 모두 $\displaystyle 3$보다 작다. 그러므로 $\displaystyle h(3)=2$이다.

결국 $\displaystyle h(t)=2$를 만족시키는 $\displaystyle t\in[2,3]$은 $\displaystyle t=2$, $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle 3$일 때뿐이므로 $\displaystyle h(t)=2$를 만족시키는 $\displaystyle t$개수는 $\displaystyle 3$이다.