성균관대 2026학년도 수시 수리형 1교시 1번 해설

[문제 1] 다음 〈제시문1〉과 〈제시문2〉를 읽고 [문제1-ⅰ] ~ [문제1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉닫힌구간 $\displaystyle [a,\,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle H(x)$ 라고 하면 $\displaystyle \int_{a}^{b}h(x)dx=H(b)-H(a)$ 이다.

〈제시문 2〉미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 주어졌을 때, 닫힌구간 $\displaystyle [-2,\,2]$ 위에서 정의되는 연속함수 $\displaystyle g(x)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle g(x)=\begin{cases}f^{\prime}(-1)(x+1)+f(-1) & (-2\le x\le-1) \\ f(x) & (-1\le x\le1) \\ f^{\prime}(1)(x-1)+f(1) & (1\le x\le2)\end{cases}$

[문제 1-ⅰ] 〈제시문 2〉에서 $\displaystyle f(x)=-2x^{2}+1$ 일 때, 정적분 $\displaystyle \int_{-2}^{2}g(x)dx$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅱ] 〈제시문 2〉에서 $\displaystyle f(x)$ 는 다음의 두 조건을 모두 만족하는 이차함수이다.(1) $\displaystyle f(1),\ f(-1)\in[-1,\,1]$ (2) $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{3},\ f^{\prime}(-1)=-\frac{1}{2}$ 이때 $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=-2$ 및 $\displaystyle x=-2$ , $\displaystyle x=2$ 로 둘러싸인 도형의 가능한 넓이 중에서 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅲ] 상수 $\displaystyle c$ 에 대하여 〈제시문2〉에서 $\displaystyle f(x)=cx(x-1)$ 이라 하자. 이때 연속함수 $\displaystyle G(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle g(x)\le2$ 이면 $\displaystyle G(x)=g(x)$ 이고, $\displaystyle g(x)>2$ 이면 $\displaystyle G(x)=2$ 이다. 정적분 $\displaystyle \int_{-2}^{2}(G(x)+2)dx$ 의 값이 $\displaystyle \frac{109}{10}$ 가 되도록 하는 $\displaystyle c$ 를 구하고 그 이유를 논하시오. (단, $\displaystyle 0<c\le1$ )

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[문제 1-ⅰ]

+6점 · 문제에서 요구하는 함수를 제시문의 정의에 맞게 정확히 계산하고, 이를 이용하여 정적분의 값을 계산할 수 있다.

주어진 $\displaystyle f(x)=-2x^{2}+1$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 계산하면 다음과 같다. $\displaystyle g(x)=\begin{cases}4x+3 & (-2\le x\le-1) \\ -2x^{2}+1 & (-1<x<1) \\ -4x+3 & (1<x\le2)\end{cases}$ Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 제시문의 정의에 따르면 $\displaystyle g(1)=-1$ 이다. 예시답안의 구간별 식은 $\displaystyle x=1$ 을 어느 구간에도 포함하지 않으므로, 이 점이 포함되도록 한쪽 구간에 등호를 넣어야 한다. 정적분의 값 $\displaystyle -\frac{16}{3}$ 에는 영향이 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 이를 적분하면 $\displaystyle \int_{-2}^{2}g(x)dx=2\int_{0}^{2}g(x)dx=2\left(\int_{0}^{1}(-2x^{2}+1)dx+\int_{1}^{2}(-4x+3)dx\right)=-\frac{16}{3}.$

[문제 1-ⅱ]

+12점 · 문제에서 제시된 조건을 바탕으로 이차함수의 그래프의 형태를 추론하고, 이를 이용하여 제시된 도형의 형태를 정적분으로서 해석한 후, 문제에서 질문하고 있는 도형이 언제 최소화되는지 이해하여 넓이의 최솟값을 구할 수 있다.

$\displaystyle f(x)$ 는 이차함수이므로, $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\ (a\ne0)$ 이라 할 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=2ax+b$ 임을 이용하여, (2)번 조건에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(1)=2a+b=\frac{1}{3}$ 그리고 $\displaystyle f^{\prime}(-1)=-2a+b=-\frac{1}{2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=\frac{5}{24},b=-\frac{1}{12}$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle f(x)=\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x+c$ 이므로 (1)번 조건에 의해 상수 $\displaystyle c$ 는 다음의 두 범위 안에 모두 속해야 한다. $\displaystyle -1\le f(1)=\frac{1}{8}+c\le1\Leftrightarrow-\frac{9}{8}\le c\le\frac{7}{8}$ $\displaystyle -1\le f(-1)=\frac{7}{24}+c\le1\Leftrightarrow-\frac{31}{24}\le c\le\frac{17}{24}$ 이를 종합하면 $\displaystyle -\frac{9}{8}\le c\le\frac{17}{24}$ 이다.이 범위 안에서 $\displaystyle f(x)\ge c-\frac{1}{120}>-2$ 이므로, $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=-2$ , $\displaystyle x=-2$ , $\displaystyle x=2$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle c$ 가 가장 작을 때, 즉 $\displaystyle c=-\frac{9}{8}$ 일 때 최솟값을 가지게 된다. 따라서, $\displaystyle f(x)=\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x-\frac{9}{8}$ 일 때 도형의 넓이를 구하자. 이 경우에 도형은 다음의 세 부분 $\displaystyle A,B,C$ 로 이루어져 있다.

$\displaystyle A$ : $\displaystyle \left(-1,-\frac{5}{6}\right)$ , $\displaystyle \left(-2,-\frac{1}{3}\right)$ , $\displaystyle (-2,-2)$ , $\displaystyle (-1,-2)$ 를 꼭짓점으로 갖는 사다리꼴 $\displaystyle B$ : $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=-2$ , $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=1$ 로 둘러싸인 도형 $\displaystyle C$ : $\displaystyle \left(2,-\frac{2}{3}\right)$ , $\displaystyle (1,-1)$ , $\displaystyle (1,-2)$ , $\displaystyle (2,-2)$ 를 꼭짓점으로 갖는 사다리꼴

$\displaystyle A,B,C$ 각각의 넓이를 기하 혹은 적분을 이용하여 구하면 다음과 같다. $\displaystyle A\text{의 넓이}=\left(\frac{7}{6}+\frac{5}{3}\right)\times1\times\frac{1}{2}=\frac{17}{12}$ $\displaystyle B\text{의 넓이}=\int_{-1}^{1}\left(\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x-\frac{9}{8}+2\right)dx=\frac{17}{9}$ $\displaystyle C\text{의 넓이}=\left(1+\frac{4}{3}\right)\times1\times\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$ 따라서 정답은 $\displaystyle \frac{17}{12}+\frac{17}{9}+\frac{7}{6}=\frac{161}{36}$ 이다.

[문제 1-ⅲ]

+12점 · 문제에서 정의하는 함수의 형태를 상수

\displaystyle c

의 범위를 나눠 정확하게 파악하고, 정적분의 넓이로서의 해석을 이용하여 복잡한 정적분의 계산을 정확하게 할 수 있다.

$\displaystyle f(x)=cx^{2}-cx$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2cx-c$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(1)=0$ , $\displaystyle f(-1)=2c$ , $\displaystyle f^{\prime}(1)=c$ , $\displaystyle f^{\prime}(-1)=-3c$ 이를 이용하여 $\displaystyle g(x)$ 를 계산하면 다음과 같다. $\displaystyle g(x)=\begin{cases}-3cx-c & (-2\le x\le-1) \\ cx^{2}-cx & (-1<x<1) \\ cx-c & (1<x\le2)\end{cases}$ 따라서 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프는 점 $\displaystyle (-2,5c)$ 를 지난다. $\displaystyle c$ 의 구간을 나누어 $\displaystyle G(x)$ 를 계산하면 다음과 같다.

(1) $\displaystyle c\in\left(0,\frac{2}{5}\right]$ 인 경우: $\displaystyle G(x)=g(x)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \int_{-2}^{2}(G(x)+2)dx=\frac{14}{3}c+8$ 이며, 이 때 $\displaystyle \left(0,\frac{2}{5}\right]$ 의 구간 안에 있으면서 $\displaystyle \frac{14}{3}c+8=\frac{109}{10}$ 가 되도록 하는 $\displaystyle c$ 는 존재하지 않는다.

(2) $\displaystyle c\in\left(\frac{2}{5},\,1\right]$ 인 경우: $\displaystyle G(x)=\begin{cases}2 & \left(-2\le x\le-\frac{1}{3}-\frac{2}{3c}\right) \\ -3cx-c & \left(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3c}<x\le-1\right) \\ cx^{2}-cx & (-1<x<1) \\ cx-c & (1<x\le2)\end{cases}$ 이다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 제시문의 정의에 따르면 $\displaystyle g(1)=G(1)=0$ 이다. 예시답안의 $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle G(x)$ 의 구간별 식에는 모두 $\displaystyle x=1$ 인 경우가 빠져 있으므로, 이 점이 포함되도록 한쪽 구간에 등호를 넣어야 한다. 정적분의 값과 최종 답 $\displaystyle c=\frac45$ 에는 영향이 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

띠라서 $\displaystyle \int_{-2}^{2}(G(x)+2)dx=\frac{34}{3}+\frac{1}{2}c-\frac{2}{3c}$ 이며, $\displaystyle c=\frac{4}{5}$ 일 때 그 값이 $\displaystyle \frac{109}{10}$ 가 된다.따라서 정답은 $\displaystyle c=\frac{4}{5}$ 이다.

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수리형 1교시 1번

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