수리형 1교시 1번

주어진 $\displaystyle f(x)=-2x^{2}+1$에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$를 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle g(x)=\begin{cases}4x+3 & (-2\le x\le-1) \\ -2x^{2}+1 & (-1<x<1) \\ -4x+3 & (1<x\le2)\end{cases}$Comment. 예시답안의 구간별 식에는 $\displaystyle x=1$인 경우가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 이를 적분하면$\displaystyle \int_{-2}^{2}g(x)dx=2\int_{0}^{2}g(x)dx=2\left(\int_{0}^{1}(-2x^{2}+1)dx+\int_{1}^{2}(-4x+3)dx\right)=-\frac{16}{3}.$

$\displaystyle f(x)$는 이차함수이므로, $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\ (a\ne0)$이라 할 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=2ax+b$임을 이용하여, (2)번 조건에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(1)=2a+b=\frac{1}{3}$ 그리고 $\displaystyle f^{\prime}(-1)=-2a+b=-\frac{1}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle a=\frac{5}{24},b=-\frac{1}{12}$임을 알 수 있다.$\displaystyle f(x)=\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x+c$이므로 (1)번 조건에 의해 상수 $\displaystyle c$는 다음의 두 범위 안에 모두 속해야 한다.$\displaystyle -1\le f(1)=\frac{1}{8}+c\le1\Leftrightarrow-\frac{9}{8}\le c\le\frac{7}{8}$$\displaystyle -1\le f(-1)=\frac{7}{24}+c\le1\Leftrightarrow-\frac{31}{24}\le c\le\frac{17}{24}$이를 종합하면 $\displaystyle -\frac{9}{8}\le c\le\frac{17}{24}$ 이다.이 범위 안에서 $\displaystyle f(x)\ge c-\frac{1}{120}>-2$이므로, $\displaystyle y=g(x)$, $\displaystyle y=-2$, $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle c$가 가장 작을 때, 즉 $\displaystyle c=-\frac{9}{8}$일 때 최솟값을 가지게 된다. 따라서, $\displaystyle f(x)=\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x-\frac{9}{8}$일 때 도형의 넓이를 구하자. 이 경우에 도형은 다음의 세 부분 $\displaystyle A,B,C$로 이루어져 있다.

$\displaystyle f(x)=cx^{2}-cx$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2cx-c$이다. 따라서 $\displaystyle f(1)=0$, $\displaystyle f(-1)=2c$, $\displaystyle f^{\prime}(1)=c$, $\displaystyle f^{\prime}(-1)=-3c$ 이를 이용하여 $\displaystyle g(x)$를 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle g(x)=\begin{cases}-3cx-c & (-2\le x\le-1) \\ cx^{2}-cx & (-1<x<1) \\ cx-c & (1<x\le2)\end{cases}$Comment. 예시답안의 구간별 식에는 $\displaystyle x=1$인 경우가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 점 $\displaystyle (-2,5c)$를 지난다. $\displaystyle c$의 구간을 나누어 $\displaystyle G(x)$를 계산하면 다음과 같다.