수리형 1교시 3번

[문제 3-ⅰ]

[문제 3-ⅱ]

[문제 3-ⅲ]

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이가 최대가 되는 조건에 대해 먼저 생각해보자.1. 만약 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 정육각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{F}^{\prime}$의 한 꼭짓점 위에 있다면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 평행인 정육각형 $\displaystyle \mathrm{ABCDEF}$의 두 변 위에 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 놓이면 된다. 이때의 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt{3}$이 된다.2. 만약 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 정육각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{F}^{\prime}$의 꼭짓점이 아닌 한 변 위에 있다면, $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 평행인 직선이 정육각형 $\displaystyle \mathrm{ABCDEF}$와 한 점에서만 만나게 될 때(두가지 경우)만 가능하다. 이 경우 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt{3}$이 된다.따라서 가능한 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPR}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle 2\sqrt{3}$이고 위 두가지 경우에만 가능하다.Correction. ‘삼각형 OPR’은 ‘삼각형 OPQ’를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

경우2. 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}$ 위에 있는 경우점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 또는 선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 위에 놓이면 가능하다. $\displaystyle 0\le t\le6$이므로 $\displaystyle 2t^{2}+t=24$ 또는 $\displaystyle 2t^{2}+t=72$ 중에 하나가 성립하고, 어떤 정수 $\displaystyle m$이 존재하여$\displaystyle 6m+1\le t^{2}+2t\le6m+2$ 또는 $\displaystyle 6m+4\le t^{2}+2t\le6m+5$　(\*\*)중에 하나가 성립하면 된다. 우선 $\displaystyle 2t^{2}+t=24$이면, $\displaystyle 3<t<4$이고 $\displaystyle 16+\frac{1}{2}<t^{2}+2t=12+\frac{3}{2}t<18$이다. 그러므로 조건(\*\*)는 $\displaystyle 16+\frac{1}{2}<12+\frac{3}{2}t\le17$이고, 이는 $\displaystyle 3<t\le\frac{10}{3}$이 된다. 해당 범위에서 $\displaystyle 2t^{2}+t=24$를 만족하는 $\displaystyle t$가 1개 존재한다. 그리고 $\displaystyle 2t^{2}+t=72$이면, 비슷한 방식으로 조건(\*\*)은 $\displaystyle 5<t\le\frac{16}{3}$이 되는데, $\displaystyle 72=2t^{2}+t\le\frac{560}{9}$이 되어 모순이다. 따라서 1번 발생한다.

경우3. 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 위에 있으면서 양 끝점이 아닌 경우점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 또는 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 위에 있을 경우 가능하다. $\displaystyle 0\le t\le6$이므로 $\displaystyle 8<t^{2}+\frac{t}{2}<12$ 또는 $\displaystyle 32<t^{2}+\frac{t}{2}<36$ 둘 중 하나가 성립하고, 어떤 정수 $\displaystyle m$이 존재하여$\displaystyle t^{2}+2t=6m+1$　또는　$\displaystyle t^{2}+2t=6m+4$　(\*\*\*)둘 중 하나가 성립하면 된다. 우선 $\displaystyle 8<t^{2}+\frac{t}{2}<12$이면, $\displaystyle 2<t<4$이고 $\displaystyle 11<t^{2}+2t<18$이 되어야 하므로 조건(\*\*\*)은 $\displaystyle t^{2}+2t=13$ 또는 $\displaystyle t^{2}+2t=16$이 된다. 만약 $\displaystyle t^{2}+2t=13$이면 $\displaystyle \frac{2}{3}<t<\frac{10}{3}$이 된다. 이 범위에서 $\displaystyle t^{2}+2t=13$을 만족하는 $\displaystyle t$가 1개 존재한다. 만약 $\displaystyle t^{2}+2t=16$이면 $\displaystyle \frac{8}{3}<t<\frac{16}{3}$이 된다. 이 범위에서 $\displaystyle t^{2}+2t=16$을 만족하는 $\displaystyle t$가 1개 존재한다. 따라서 $\displaystyle 8<t^{2}+\frac{t}{2}<12$인 경우 원하는 $\displaystyle t$는 2개 존재한다. 그리고 $\displaystyle 32<t^{2}+\frac{t}{2}<36$이면, $\displaystyle 5<t<6$이고 $\displaystyle 39+\frac{1}{2}<t^{2}+2t<45$가 되어야 하므로 조건(\*\*\*)은 $\displaystyle t^{2}+2t=40$ 또는 $\displaystyle t^{2}+2t=43$이 된다. 만약 $\displaystyle t^{2}+2t=40$이면 $\displaystyle \frac{8}{3}<t<\frac{16}{3}$이 되는데, 이 경우 $\displaystyle 40=t^{2}+2t<\frac{352}{9}$이 되어 모순이다. 만약 $\displaystyle t^{2}+2t=43$이면 $\displaystyle \frac{14}{3}<t<\frac{22}{3}$가 성립한다. 따라서 해당 범위에 $\displaystyle t^{2}+2t=43$을 만족하는 $\displaystyle t$가 1개 존재한다. 그러므로 $\displaystyle 32<t^{2}+\frac{t}{2}<36$인 경우 원하는 $\displaystyle t$는 1개 존재한다. 따라서 3번 발생한다.

위의 모든 경우를 종합하면 조건 (1),(2)를 모두 만족하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이가 최대가 되는 경우의 수는 4번이다.