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수리형 1교시 3번

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성균관대 2026학년도 수시 수리형 1교시 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/skku/2026su/suri1_3

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[문제 3] 다음 〈제시문1〉과 〈제시문2〉을 읽고 [문제3-ⅰ] ~ [문제3-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}의 세 각 ∠A, ∠B, ∠C\displaystyle \angle\mathrm{A},\ \angle\mathrm{B},\ \angle\mathrm{C}의 크기를 각각 A, B, C\displaystyle A,\ B,\ C로 나타내고, 이들의 대변의 길이를 각각 a, b, c\displaystyle a,\ b,\ c로 나타내기로 한다. 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이에는 다음과 같은 관계가 성립하는데 이를 코사인법칙이라고 한다.a2=b2+c2−2bccos⁡Ab2=c2+a2−2cacos⁡Bc2=a2+b2−2abcos⁡C\displaystyle \begin{aligned} a^{2} &=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A \\ b^{2} &=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B \\ c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C \end{aligned}

〈제시문 2〉아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1이고 점 A(1,0)\displaystyle \mathrm{A}(1,0)을 한 꼭짓점으로 하는 정육각형 ABCDEF\displaystyle \mathrm{ABCDEF}가 있다. 그리고 2 이상의 자연수 k\displaystyle k에 대하여 한 변의 길이가 k\displaystyle k이고 점 A′(k,0)\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(k,0)을 한 꼭짓점으로 하는 정육각형 A′B′C′D′E′F′\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{F}^{\prime}가 있다. 두 꼭짓점 A\displaystyle \mathrm{A}와 D\displaystyle \mathrm{D}는 원점 O\displaystyle \mathrm{O}에 대하여 대칭이고, 두 꼭짓점 A′\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}와 D′\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}도 원점 O\displaystyle \mathrm{O}에 대하여 대칭이다. 점 P\displaystyle \mathrm{P}는 꼭짓점 A\displaystyle \mathrm{A}를 출발하여 시계 반대 방향으로 정육각형 ABCDEF\displaystyle \mathrm{ABCDEF}의 변을 따라 움직이며, 출발 후 t\displaystyle t분 동안 이동한 거리는 sP(t)=t2+2t\displaystyle s_{\mathrm{P}}(t)=t^{2}+2t이다. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}는 꼭짓점 A′\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}를 출발하여 시계 반대 방향으로 정육각형 A′B′C′D′E′F′\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{F}^{\prime}의 변을 따라 움직이며, 출발 후 t\displaystyle t분 동안 이동한 거리는 sQ(t)=2t2+t\displaystyle s_{\mathrm{Q}}(t)=2t^{2}+t이다.

원점 O를 중심으로 겹쳐 놓인 두 정육각형. 안쪽은 A(1,0)을 꼭짓점으로 하는 ABCDEF, 바깥쪽은 A′(k,0)을 꼭짓점으로 하는 A′B′C′D′E′F′이며, 점 P와 점 Q가 각각 시계 반대 방향 화살표와 함께 표시되어 있다.

[문제 3-ⅰ] 〈제시문 2〉의 두 점 P, Q\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}가 동시에 각각 두 꼭짓점 A, A′\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{A}^{\prime}를 출발한 후 8분이 지났을 때 두 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}와 OQ\displaystyle \mathrm{OQ}의 사잇각을 θ (0≤θ≤π)\displaystyle \theta\,(0\le\theta\le\pi)라 하자. k=6\displaystyle k=6인 경우 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅱ] 자연수 k\displaystyle k에 대하여 〈제시문2〉의 두 점 P, Q\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}가 동시에 각각 두 꼭짓점 A, A′\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{A}^{\prime}를 출발하였을 때, 출발한 후 10분 동안 두 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}와 OQ\displaystyle \mathrm{OQ}의 사잇각이 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}가 되는 횟수를 ak\displaystyle a_{k}라 하자. 이때∑j=310a5j=a125+a625+…+a510\displaystyle \sum_{j=3}^{10}a_{5^{j}}=a_{125}+a_{625}+\ldots+a_{5^{10}}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅲ] k=8\displaystyle k=8에 대하여 〈제시문2〉의 세 점 O, P, Q\displaystyle \mathrm{O},\ \mathrm{P},\ \mathrm{Q}가 일직선 상에 있지 않을 경우 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}의 넓이의 최댓값을 α\displaystyle \alpha라 하자. 두 점 P, Q\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}가 동시에 각각 두 꼭짓점 A, A′\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{A}^{\prime}를 출발하였을 때, 출발한 후 6분 동안 아래의 두 조건을 모두 만족하는 경우의 수를 구하고 그 이유를 논하시오.(1) 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 선분 C′D′\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime} 위에 위치한다.(2) 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}의 넓이가 α\displaystyle \alpha가 된다.

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[문제 3-ⅰ]

+5점 · 코사인법칙을 활용하여 삼각함수의 값을 계산할 수 있다.

두 점 P, Q\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}가 8분 동안 이동한 거리는 각각 sP(8)=80\displaystyle s_{\mathrm{P}}(8)=80, sQ(8)=136\displaystyle s_{\mathrm{Q}}(8)=136이므로, 8분 뒤 두 점 P, Q\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}의 좌표는 각각 P(−12,32)\displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right), Q(1,−33)\displaystyle \mathrm{Q}(1,-3\sqrt{3})이다. OP‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=1, OQ‾=27\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=2\sqrt{7}, PQ‾=39\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{39}, ∠POQ=θ\displaystyle \angle\mathrm{POQ}=\theta이므로 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}에 코사인법칙을 적용하면 39=1+28−47cos⁡θ\displaystyle 39=1+28-4\sqrt{7}\cos\theta가 되어 cos⁡θ=−527\displaystyle \cos\theta=-\frac{5}{2\sqrt{7}}이 된다. 따라서 sin⁡θ=327=2114\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}이다.

[문제 3-ⅱ]

+10점 · 기하학적 정보를 수식화하여 특정한 경우의 수를 올바르게 계산할 수 있다.

선분 OQ\displaystyle \mathrm{OQ}와 정육각형 ABCDEF\displaystyle \mathrm{ABCDEF}가 만나는 점을 Q′\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}라고 하면 점 Q′\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}는 꼭짓점 A\displaystyle \mathrm{A}를 출발하여 반시계 방향으로 정육각형 ABCDEF\displaystyle \mathrm{ABCDEF} 위를 움직인다. 그리고 출발 후 t\displaystyle t분 동안 이동한 거리는 sQ′(t)=2kt2+1kt\displaystyle s_{\mathrm{Q}^{\prime}}(t)=\frac{2}{k}t^{2}+\frac{1}{k}t가 된다. 두 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}와 OQ\displaystyle \mathrm{OQ}의 사잇각과 두 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}와 OQ′\displaystyle \mathrm{OQ}^{\prime}의 사잇각이 같으므로, 두 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}와 OQ′\displaystyle \mathrm{OQ}^{\prime}의 사잇각이 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}일 경우는 sP(t)−sQ′(t)=(1−2k)t2+(2−1k)t\displaystyle s_{\mathrm{P}}(t)-s_{\mathrm{Q}^{\prime}}(t)=\left(1-\frac{2}{k}\right)t^{2}+\left(2-\frac{1}{k}\right)t가 어떤 정수 m\displaystyle m에 대하여 6m+1\displaystyle 6m+1 또는 6m+5\displaystyle 6m+5가 될 때만 가능하다. k≥125\displaystyle k\ge125인 경우 sP(t)−sQ′(t)\displaystyle s_{\mathrm{P}}(t)-s_{\mathrm{Q}^{\prime}}(t)는 0≤t≤10\displaystyle 0\le t\le10에서 증가하므로 sP(0)−sQ′(0)=0\displaystyle s_{\mathrm{P}}(0)-s_{\mathrm{Q}^{\prime}}(0)=0 이상 sP(10)−sQ′(10)=120−210k\displaystyle s_{\mathrm{P}}(10)-s_{\mathrm{Q}^{\prime}}(10)=120-\frac{210}{k} 이하의 수 중 6으로 나누었을 때 나머지가 1 또는 5가 되는 자연수의 개수가 ak\displaystyle a_{k}가 된다. 우선 k>210\displaystyle k>210인 경우 0부터 119까지의 자연수를 고려하므로1,7,13, ⋯ ,115⇒20개\displaystyle 1,7,13,\ \cdots,115\quad\Rightarrow\quad20\text{개}5,11,17, ⋯ ,119⇒20개\displaystyle 5,11,17,\ \cdots,119\quad\Rightarrow\quad20\text{개}가 되어 ak=40\displaystyle a_{k}=40이다. k=125\displaystyle k=125인 경우는 0부터 118까지의 자연수를 고려하므로 a53=39\displaystyle a_{5^{3}}=39이다.따라서, ∑j=310a5j=319\displaystyle \sum_{j=3}^{10}a_{5^{j}}=319이다.

[문제 3-ⅲ]

삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}의 넓이가 최대가 되는 조건에 대해 먼저 생각해보자.1. 만약 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 정육각형 A′B′C′D′E′F′\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{F}^{\prime}의 한 꼭짓점 위에 있다면, 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 선분 OQ\displaystyle \mathrm{OQ}와 평행인 정육각형 ABCDEF\displaystyle \mathrm{ABCDEF}의 두 변 위에 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 놓이면 된다. 이때의 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}의 넓이는 23\displaystyle 2\sqrt{3}이 된다.2. 만약 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 정육각형 A′B′C′D′E′F′\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{F}^{\prime}의 꼭짓점이 아닌 한 변 위에 있다면, OQ\displaystyle \mathrm{OQ}와 평행인 직선이 정육각형 ABCDEF\displaystyle \mathrm{ABCDEF}와 한 점에서만 만나게 될 때(두가지 경우)만 가능하다. 이 경우 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}의 넓이는 23\displaystyle 2\sqrt{3}이 된다.따라서 가능한 삼각형 OPR\displaystyle \mathrm{OPR}의 넓이의 최댓값은 23\displaystyle 2\sqrt{3}이고 위 두가지 경우에만 가능하다.Correction. ‘삼각형 OPR’은 ‘삼각형 OPQ’를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+15점 · 기하학적 정보를 수식화하여 특정한 경우의 수를 올바르게 계산할 수 있다.

경우1. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 꼭짓점 C′\displaystyle \mathrm{C}^{\prime} 위에 있는 경우점 P\displaystyle \mathrm{P}가 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB} 또는 선분 DE\displaystyle \mathrm{DE} 위에 놓이면 된다. 0≤t≤6\displaystyle 0\le t\le6이므로 2t2+t=16\displaystyle 2t^{2}+t=16 또는 2t2+t=64\displaystyle 2t^{2}+t=64 중에 하나가 성립하고, 어떤 정수 m\displaystyle m이 존재하여6m≤t2+2t≤6m+1\displaystyle 6m\le t^{2}+2t\le6m+1 또는 6m+3≤t2+2t≤6m+4\displaystyle 6m+3\le t^{2}+2t\le6m+4　(\*)중에 하나가 성립하면 된다. 우선 2t2+t=16\displaystyle 2t^{2}+t=16이면, 2<t<3\displaystyle 2<t<3이고 11<t2+2t=8+32t<12+12\displaystyle 11<t^{2}+2t=8+\frac{3}{2}t<12+\frac{1}{2}이다. 그러므로 조건(\*)은 12≤8+32t<12+12\displaystyle 12\le8+\frac{3}{2}t<12+\frac{1}{2}이고, 이는 83≤t<3\displaystyle \frac{8}{3}\le t<3이 된다. 하지만 이 경우 16=2t2+t≥1529\displaystyle 16=2t^{2}+t\ge\frac{152}{9}가 되어 모순이다. 그리고 2t2+t=64\displaystyle 2t^{2}+t=64이면, 비슷한 방식으로 조건(\*)은 5<t≤163\displaystyle 5<t\le\frac{16}{3}이 되는데 해당 범위에서 64=2t2+t≤5609\displaystyle 64=2t^{2}+t\le\frac{560}{9}이 되어 모순이다. 따라서 0번 발생한다.

경우2. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 꼭짓점 D′\displaystyle \mathrm{D}^{\prime} 위에 있는 경우점 P\displaystyle \mathrm{P}가 선분 BC\displaystyle \mathrm{BC} 또는 선분 EF\displaystyle \mathrm{EF} 위에 놓이면 가능하다. 0≤t≤6\displaystyle 0\le t\le6이므로 2t2+t=24\displaystyle 2t^{2}+t=24 또는 2t2+t=72\displaystyle 2t^{2}+t=72 중에 하나가 성립하고, 어떤 정수 m\displaystyle m이 존재하여6m+1≤t2+2t≤6m+2\displaystyle 6m+1\le t^{2}+2t\le6m+2 또는 6m+4≤t2+2t≤6m+5\displaystyle 6m+4\le t^{2}+2t\le6m+5　(\*\*)중에 하나가 성립하면 된다. 우선 2t2+t=24\displaystyle 2t^{2}+t=24이면, 3<t<4\displaystyle 3<t<4이고 16+12<t2+2t=12+32t<18\displaystyle 16+\frac{1}{2}<t^{2}+2t=12+\frac{3}{2}t<18이다. 그러므로 조건(\*\*)는 16+12<12+32t≤17\displaystyle 16+\frac{1}{2}<12+\frac{3}{2}t\le17이고, 이는 3<t≤103\displaystyle 3<t\le\frac{10}{3}이 된다. 해당 범위에서 2t2+t=24\displaystyle 2t^{2}+t=24를 만족하는 t\displaystyle t가 1개 존재한다. 그리고 2t2+t=72\displaystyle 2t^{2}+t=72이면, 비슷한 방식으로 조건(\*\*)은 5<t≤163\displaystyle 5<t\le\frac{16}{3}이 되는데, 72=2t2+t≤5609\displaystyle 72=2t^{2}+t\le\frac{560}{9}이 되어 모순이다. 따라서 1번 발생한다.

경우3. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 선분 C′D′\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime} 위에 있으면서 양 끝점이 아닌 경우점 P\displaystyle \mathrm{P}가 꼭짓점 B\displaystyle \mathrm{B} 또는 꼭짓점 E\displaystyle \mathrm{E} 위에 있을 경우 가능하다. 0≤t≤6\displaystyle 0\le t\le6이므로 8<t2+t2<12\displaystyle 8<t^{2}+\frac{t}{2}<12 또는 32<t2+t2<36\displaystyle 32<t^{2}+\frac{t}{2}<36 둘 중 하나가 성립하고, 어떤 정수 m\displaystyle m이 존재하여t2+2t=6m+1\displaystyle t^{2}+2t=6m+1　또는　t2+2t=6m+4\displaystyle t^{2}+2t=6m+4　(\*\*\*)둘 중 하나가 성립하면 된다. 우선 8<t2+t2<12\displaystyle 8<t^{2}+\frac{t}{2}<12이면, 2<t<4\displaystyle 2<t<4이고 11<t2+2t<18\displaystyle 11<t^{2}+2t<18이 되어야 하므로 조건(\*\*\*)은 t2+2t=13\displaystyle t^{2}+2t=13 또는 t2+2t=16\displaystyle t^{2}+2t=16이 된다. 만약 t2+2t=13\displaystyle t^{2}+2t=13이면 23<t<103\displaystyle \frac{2}{3}<t<\frac{10}{3}이 된다. 이 범위에서 t2+2t=13\displaystyle t^{2}+2t=13을 만족하는 t\displaystyle t가 1개 존재한다. 만약 t2+2t=16\displaystyle t^{2}+2t=16이면 83<t<163\displaystyle \frac{8}{3}<t<\frac{16}{3}이 된다. 이 범위에서 t2+2t=16\displaystyle t^{2}+2t=16을 만족하는 t\displaystyle t가 1개 존재한다. 따라서 8<t2+t2<12\displaystyle 8<t^{2}+\frac{t}{2}<12인 경우 원하는 t\displaystyle t는 2개 존재한다. 그리고 32<t2+t2<36\displaystyle 32<t^{2}+\frac{t}{2}<36이면, 5<t<6\displaystyle 5<t<6이고 39+12<t2+2t<45\displaystyle 39+\frac{1}{2}<t^{2}+2t<45가 되어야 하므로 조건(\*\*\*)은 t2+2t=40\displaystyle t^{2}+2t=40 또는 t2+2t=43\displaystyle t^{2}+2t=43이 된다. 만약 t2+2t=40\displaystyle t^{2}+2t=40이면 83<t<163\displaystyle \frac{8}{3}<t<\frac{16}{3}이 되는데, 이 경우 40=t2+2t<3529\displaystyle 40=t^{2}+2t<\frac{352}{9}이 되어 모순이다. 만약 t2+2t=43\displaystyle t^{2}+2t=43이면 143<t<223\displaystyle \frac{14}{3}<t<\frac{22}{3}가 성립한다. 따라서 해당 범위에 t2+2t=43\displaystyle t^{2}+2t=43을 만족하는 t\displaystyle t가 1개 존재한다. 그러므로 32<t2+t2<36\displaystyle 32<t^{2}+\frac{t}{2}<36인 경우 원하는 t\displaystyle t는 1개 존재한다. 따라서 3번 발생한다.

위의 모든 경우를 종합하면 조건 (1),(2)를 모두 만족하는 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ}의 넓이가 최대가 되는 경우의 수는 4번이다.

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