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수리형 3교시 1번

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성균관대 2026학년도 수시 수리형 3교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2026su/suri3_1

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[문제 1] 다음 〈제시문1〉과 〈제시문2〉를 읽고 [문제1-ⅰ] ~ [문제1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문〉실수 A, B, P, Q\displaystyle A,\ B,\ P,\ Q에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음과 같이 정의되어 있다.f(x)={−x2+Ax+B(x<1)x2+Px+Q(x≥1)\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x^{2}+Ax+B & (x<1) \\ x^{2}+Px+Q & (x\ge1)\end{cases}함수 f(x)\displaystyle f(x)는 실수 전체 집합에서 미분가능하고, 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프와 직선 y=m\displaystyle y=m이 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 m\displaystyle m의 집합은 {−6, 2}\displaystyle \{-6,\ 2\}이다.

〈제시문〉실수 a, b, c, p, q\displaystyle a,\ b,\ c,\ p,\ q에 대하여 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 다음과 같이 정의되어 있다.g(x)={−x3+ax2+bx+c(x≤0)x2+px+q(x>0)\displaystyle g(x)=\begin{cases}-x^{3}+ax^{2}+bx+c & (x\le0) \\ x^{2}+px+q & (x>0)\end{cases}함수 g(x)\displaystyle g(x)는 아래의 조건을 모두 만족한다.(1) 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 연속함수이다.(2) 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=−2\displaystyle x=-2에서 극소가 된다.(3) 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프와 직선 y=m\displaystyle y=m이 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 모든 실수 m\displaystyle m의 집합은 열린구간 (1,β)\displaystyle (1,\beta)이다.(4) p+c=a+b\displaystyle p+c=a+b가 성립한다.(5) 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프는 점 (1, −192)\displaystyle \left(1,\ -\frac{19}{2}\right)를 지난다.

[문제 1-ⅰ] 〈제시문 1〉에서 실수 A, B, P, Q\displaystyle A,\ B,\ P,\ Q의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅱ] 〈제시문 2〉에서 실수 a, b, c, p, q\displaystyle a,\ b,\ c,\ p,\ q의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅲ] 〈제시문 2〉에서 실수 β\displaystyle \beta의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2026학년도 수시 수리형 3교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2026su/suri3_1

[문제 1-ⅰ]

+10점 · 주어진 이차함수가 직선과 두 점에서 만나는 조건과 x=1\displaystyle x=1에서 미분가능인 조건을 활용하여 다항식을 규명할 수 있다.

x=1\displaystyle x=1에서 미분가능하므로 다음이 성립한다.−2+A=2+P⋯⋯ (i)\displaystyle -2+A=2+P\qquad\cdots\cdots\ (\mathrm{i})x=1\displaystyle x=1에서 연속이므로 다음이 성립한다.−1+A+B=1+P+Q⋯⋯ (ii)\displaystyle -1+A+B=1+P+Q\qquad\cdots\cdots\ (\mathrm{ii})y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 y=t\displaystyle y=t와 두 점에서 만나기 위한 t\displaystyle t가 −6\displaystyle -6과 2\displaystyle 2이므로x<1\displaystyle x<1 범위에서 −x2+Ax+B=−(x−A2)2+2\displaystyle -x^{2}+Ax+B=-\left(x-\frac{A}{2}\right)^{2}+2 이어야 한다. 따라서 B=2−A24\displaystyle B=2-\frac{A^{2}}{4} 이 성립한다.x>1\displaystyle x>1 범위에서 x2+Px+Q=(x+P2)2−6\displaystyle x^{2}+Px+Q=\left(x+\frac{P}{2}\right)^{2}-6 이어야 한다. 따라서 Q=P24−6\displaystyle Q=\frac{P^{2}}{4}-6 이 성립한다. 또한 극대점이 x<1\displaystyle x<1에서, 극소점이 x≥1\displaystyle x\ge1에서 존재하려면 A2<1\displaystyle \frac{A}{2}<1 과 −P2>1\displaystyle -\frac{P}{2}>1이 성립하여야 한다. 얻어낸 두 관계식을 위의 식 (ii)에 대입하면A−A24+2−1=1+P+P24−6\displaystyle A-\frac{A^{2}}{4}+2-1=1+P+\frac{P^{2}}{4}-6이 성립한다. 즉,A−P−A24−P24=−6\displaystyle A-P-\frac{A^{2}}{4}-\frac{P^{2}}{4}=-6이다.위의 식 (i)의 A−P=4\displaystyle A-P=4 관계식을 대입하면 A2+P2=40\displaystyle A^{2}+P^{2}=40이 성립한다. 두 식을 통해 P2+8P+16+P2=40\displaystyle P^{2}+8P+16+P^{2}=40이 되고, 정리하면 P2+4P−12=0\displaystyle P^{2}+4P-12=0이다. (P+6)(P−2)=0\displaystyle (P+6)(P-2)=0인데, 이 중 음수인 P\displaystyle P를 택하면 P=−6\displaystyle P=-6이다. 이를 대입하여 A=−2\displaystyle A=-2임을 알 수 있고, 위 관계식에 대입하여 Q=3\displaystyle Q=3과 B=1\displaystyle B=1을 얻는다.

[문제 1-ⅱ]

+10점 · 주어진 삼차함수가 직선과 네 점에서 만나는 조건과 x=0\displaystyle x=0에서 연속인 조건을 활용하여 다항식을 규명할 수 있다.

점 x=0\displaystyle x=0에서 연속이므로 c=q\displaystyle c=q가 성립한다.x=−2\displaystyle x=-2에서 극소가 되므로 g′(−2)=0\displaystyle g^{\prime}(-2)=0이다. g′(x)=−3x2+2ax+b\displaystyle g^{\prime}(x)=-3x^{2}+2ax+b이므로 −12−4a+b=0\displaystyle -12-4a+b=0이다.(3)에서 그래프 개형을 통해 극솟값이 1\displaystyle 1이 되어야함을 알 수 있다. 따라서 1=g(−2)=8+4a−2b+c\displaystyle 1=g(-2)=8+4a-2b+c이 성립한다.(5)에서 1+p+q=−192\displaystyle 1+p+q=-\frac{19}{2}이 된다. 즉 p+q=−212\displaystyle p+q=-\frac{21}{2}가 되고 c=q\displaystyle c=q임을 활용하고 (4)의 식과 합치면 a+b=−212\displaystyle a+b=-\frac{21}{2}이다.앞에서 구한 4a−b=−12\displaystyle 4a-b=-12와 연립하여 풀면 5a=−212−12=−452\displaystyle 5a=-\frac{21}{2}-12=-\frac{45}{2}이 돼서 a=−92\displaystyle a=-\frac{9}{2}이다. 이를 앞의 식 a+b=−212\displaystyle a+b=-\frac{21}{2}에 대입하면 b=−6\displaystyle b=-6이 된다.이제 8+4a−2b+c=1\displaystyle 8+4a-2b+c=1이 대입하면, c=−1\displaystyle c=-1가 됨을 알 수 있다. 따라서 q=−1\displaystyle q=-1이고 p=−192\displaystyle p=-\frac{19}{2}이다.

[문제 1-ⅲ]

+10점 · 삼차함수의 극댓값을 계산하여 주어진 값 β\displaystyle \beta를 계산할 수 있다.

앞에서 x<0\displaystyle x<0범위에서 g(x)=−x3−92x2−6x−1\displaystyle g(x)=-x^{3}-\frac{9}{2}x^{2}-6x-1임을 확인하였다.g′(x)=−3x2−9x−6\displaystyle g^{\prime}(x)=-3x^{2}-9x-6 이므로 g′(x)=0\displaystyle g^{\prime}(x)=0일 될 때를 구하면 x2+3x+2=0\displaystyle x^{2}+3x+2=0에서 x=−2\displaystyle x=-2와 x=−1\displaystyle x=-1이고 따라서 x=−1\displaystyle x=-1에서 극대값 g(−1)=1−92+6−1=32\displaystyle g(-1)=1-\frac{9}{2}+6-1=\frac{3}{2}를 갖는다. (3)의 정보와 그래프 개형을 통해 β=32\displaystyle \beta=\frac{3}{2}임을 알 수 있다.

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