수리형 3교시 1번

$\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로 다음이 성립한다.$\displaystyle -2+A=2+P\qquad\cdots\cdots\ (\mathrm{i})$$\displaystyle x=1$에서 연속이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle -1+A+B=1+P+Q\qquad\cdots\cdots\ (\mathrm{ii})$$\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle y=t$와 두 점에서 만나기 위한 $\displaystyle t$가 $\displaystyle -6$과 $\displaystyle 2$이므로$\displaystyle x<1$ 범위에서 $\displaystyle -x^{2}+Ax+B=-\left(x-\frac{A}{2}\right)^{2}+2$ 이어야 한다. 따라서 $\displaystyle B=2-\frac{A^{2}}{4}$ 이 성립한다.$\displaystyle x>1$ 범위에서 $\displaystyle x^{2}+Px+Q=\left(x+\frac{P}{2}\right)^{2}-6$ 이어야 한다. 따라서 $\displaystyle Q=\frac{P^{2}}{4}-6$ 이 성립한다. 또한 극대점이 $\displaystyle x<1$에서, 극소점이 $\displaystyle x\ge1$에서 존재하려면 $\displaystyle \frac{A}{2}<1$ 과 $\displaystyle -\frac{P}{2}>1$이 성립하여야 한다. 얻어낸 두 관계식을 위의 식 (ii)에 대입하면$\displaystyle A-\frac{A^{2}}{4}+2-1=1+P+\frac{P^{2}}{4}-6$이 성립한다. 즉,$\displaystyle A-P-\frac{A^{2}}{4}-\frac{P^{2}}{4}=-6$이다.위의 식 (i)의 $\displaystyle A-P=4$ 관계식을 대입하면 $\displaystyle A^{2}+P^{2}=40$이 성립한다. 두 식을 통해 $\displaystyle P^{2}+8P+16+P^{2}=40$이 되고, 정리하면 $\displaystyle P^{2}+4P-12=0$이다. $\displaystyle (P+6)(P-2)=0$인데, 이 중 음수인 $\displaystyle P$를 택하면 $\displaystyle P=-6$이다. 이를 대입하여 $\displaystyle A=-2$임을 알 수 있고, 위 관계식에 대입하여 $\displaystyle Q=3$과 $\displaystyle B=1$을 얻는다.

점 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 $\displaystyle c=q$가 성립한다.$\displaystyle x=-2$에서 극소가 되므로 $\displaystyle g^{\prime}(-2)=0$이다. $\displaystyle g^{\prime}(x)=-3x^{2}+2ax+b$이므로 $\displaystyle -12-4a+b=0$이다.(3)에서 그래프 개형을 통해 극솟값이 $\displaystyle 1$이 되어야함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 1=g(-2)=8+4a-2b+c$이 성립한다.(5)에서 $\displaystyle 1+p+q=-\frac{19}{2}$이 된다. 즉 $\displaystyle p+q=-\frac{21}{2}$가 되고 $\displaystyle c=q$임을 활용하고 (4)의 식과 합치면 $\displaystyle a+b=-\frac{21}{2}$이다.앞에서 구한 $\displaystyle 4a-b=-12$와 연립하여 풀면 $\displaystyle 5a=-\frac{21}{2}-12=-\frac{45}{2}$이 돼서 $\displaystyle a=-\frac{9}{2}$이다. 이를 앞의 식 $\displaystyle a+b=-\frac{21}{2}$에 대입하면 $\displaystyle b=-6$이 된다.이제 $\displaystyle 8+4a-2b+c=1$이 대입하면, $\displaystyle c=-1$가 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle q=-1$이고 $\displaystyle p=-\frac{19}{2}$이다.

앞에서 $\displaystyle x<0$범위에서 $\displaystyle g(x)=-x^{3}-\frac{9}{2}x^{2}-6x-1$임을 확인하였다.$\displaystyle g^{\prime}(x)=-3x^{2}-9x-6$ 이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$일 될 때를 구하면 $\displaystyle x^{2}+3x+2=0$에서 $\displaystyle x=-2$와 $\displaystyle x=-1$이고 따라서 $\displaystyle x=-1$에서 극대값 $\displaystyle g(-1)=1-\frac{9}{2}+6-1=\frac{3}{2}$를 갖는다. (3)의 정보와 그래프 개형을 통해 $\displaystyle \beta=\frac{3}{2}$임을 알 수 있다.