수리형 3교시 3번

실수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle b>0$가 고정되었을 경우$\displaystyle x^{3}-ax^{2}-cx^{2}+bx+acx-bc=\{x^{3}+bx+acx-(a+c)x^{2}\}-bc$가 최댓값을 가지려면, $\displaystyle x^{3}+bx+acx-(a+c)x^{2}$가 고정된 값이므로 $\displaystyle a>c$가 성립하여야 한다. 이 경우 $\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle (3,1,2),\ (3,2,1),\ (2,3,1)$ 세 가지 중 하나이다. 따라서 $\displaystyle x$가 주어졌을 때,$\displaystyle \begin{aligned} P(x) &=(x^{2}-3x+1)(x-2)=x^{3}-5x^{2}+7x-2 \\ Q(x) &=(x^{2}-3x+2)(x-1)=x^{3}-4x^{2}+5x-2 \\ R(x) &=(x^{2}-2x+3)(x-1)=x^{3}-3x^{2}+5x-3 \end{aligned}$중 가장 큰 값이 $\displaystyle g(x)$가 된다. 세 부등식$\displaystyle P(x)>Q(x),\ Q(x)>R(x),\ P(x)>R(x)$은 모두 이차부등식이 되며, 이를 풀면 각각$\displaystyle 0<x<2,\ -1<x<1,\ \frac{1-\sqrt{3}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$이 된다. 따라서 $\displaystyle P(x)$의 값이 가장 큰 경우는 $\displaystyle 0<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$이고, $\displaystyle Q(x)$의 값이 가장 큰 경우는 $\displaystyle -1<x<0$이고, $\displaystyle R(x)$의 값이 가장 큰 경우는 $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>\frac{1+\sqrt{3}}{2}$이다. 함수 $\displaystyle g(x)$가 모든 실수에서 연속임을 고려하여 종합하면$\displaystyle g(x)=\begin{cases}x^{3}-3x^{2}+5x-3 & (x\le-1) \\ x^{3}-4x^{2}+5x-2 & (-1<x\le0) \\ x^{3}-5x^{2}+7x-2 & \left(0<x\le\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ x^{3}-3x^{2}+5x-3 & \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}<x\right)\end{cases}$이다. 그러므로$\displaystyle \int_{-1}^{1}g(x)dx=\int_{-1}^{0}g(x)dx+\int_{0}^{1}g(x)dx=\int_{-1}^{0}(x^{3}-4x^{2}+5x-2)dx+\int_{0}^{1}(x^{3}-5x^{2}+7x-2)dx=-6$이다.

[문제 3-ⅰ]의 함수 $\displaystyle g(x)$에 대하여$\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}3x^{2}-6x+5 & (x<-1) \\ 3x^{2}-8x+5 & (-1<x<0) \\ 3x^{2}-10x+7 & \left(0<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ 3x^{2}-6x+5 & \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}<x\right)\end{cases}$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle x_{0}$가 $\displaystyle -1,\ 0,\ \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 이외의 값일 경우에는$\displaystyle \left|\lim_{x\to x_{0}-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to x_{0}+}g^{\prime}(x)\right|=\left|g^{\prime}(x_{0})-g^{\prime}(x_{0})\right|=0$이 된다. 또한$\displaystyle \left|\lim_{x\to-1-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to-1+}g^{\prime}(x)\right|=2$$\displaystyle \left|\lim_{x\to0-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to0+}g^{\prime}(x)\right|=2$$\displaystyle \left|\lim_{x\to\frac{1+\sqrt{3}}{2}-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to\frac{1+\sqrt{3}}{2}+}g^{\prime}(x)\right|=2\sqrt{3}$이므로 답은 $\displaystyle 0,\ 2,\ 2\sqrt{3}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$가 $\displaystyle 0\le x_{1}\le1$인 경우만 고려되고, [문제 3-i]에서 $\displaystyle 0\le x\le1$인 경우 $\displaystyle g(x)=(x^{2}-3x+1)(x-2)=x^{3}-5x^{2}+7x-2$임을 확인하였다. 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$를 $\displaystyle y$축에 대칭시킨 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$를 고려하자. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x_{2},y_{2})$를 $\displaystyle y$축에 대칭한 점 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$은 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$의 네 변 위에 놓이게 된다. 주어진 조건 $\displaystyle y_{1}(x_{2}-1)+y_{2}(x_{1}+1)=2(x_{1}+x_{2})$은$\displaystyle \frac{y_{2}-2}{-x_{2}+1}=\frac{y_{1}-2}{x_{1}+1}$이므로, 세 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1}),\mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2}),\mathrm{S}(-1,2)$가 한 직선 위에 놓이게 됨을 의미한다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$가 $\displaystyle y=g(x)\,(0\le x\le1)$의 그래프 위를 움직일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$와 $\displaystyle \mathrm{S}(-1,2)$를 지나는 직선 $\displaystyle l$이 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$와 만날 때의 교점이 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$이 된다. 따라서 실수 $\displaystyle r$이 고정되었을 때 모든 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$에 대하여 직선 $\displaystyle l$과 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$가 만나지 않을 경우 $\displaystyle k(r)=0$이고, 그렇지 않을 경우 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$의 네 변 위에서 점 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$가 놓일 수 있는 부분의 길이가 $\displaystyle k(r)$이 된다. 아래 그림에서 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 위의 빨간색 선이 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$이 놓일 수 있는 부분이므로, 빨간색 선의 길이가 $\displaystyle k(r)$이 된다.