성균관대 2026학년도 수시 수리형 3교시 3번 해설

[문제 3] 다음 〈제시문1〉 ~ 〈제시문3〉을 읽고 [문제3-ⅰ] ~ [문제3-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

〈제시문 1〉함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 보다 크면서 $\displaystyle a$ 에 한없이 가까워질 때, $\displaystyle f(x)$ 의 값이 일정한 값 $\displaystyle L$ 에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=L$ 과 같이 나타내고, $\displaystyle L$ 을 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 우극한이라고 한다.또한, 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 보다 작으면서 $\displaystyle a$ 에 한없이 가까워질 때, $\displaystyle f(x)$ 의 값이 일정한 값 $\displaystyle M$ 에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)=M$ 과 같이 나타내고, $\displaystyle M$ 을 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 좌극한이라고 한다.

〈제시문 2〉주어진 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여, 집합 $\displaystyle \{1,2,3\}$ 에서 서로 다른 세 수 $\displaystyle a,b,c$ 를 선택하여 $\displaystyle (x^{2}-ax+b)(x-c)$ 의 값이 최대가 되도록 하고 이 최댓값을 $\displaystyle g(x)$ 로 정의한다. 이 경우 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에서 연속이 된다.예를 들어, $\displaystyle x=1$ 이면 $\displaystyle (1-a+b)(1-c)$ 의 값은 $\displaystyle (a,b,c)=(3,1,2)$ 일 경우 최대이고 $\displaystyle g(1)=1$ 이다. $\displaystyle x=0$ 이면 $\displaystyle b(-c)$ 의 값은 $\displaystyle (a,b,c)=(3,1,2)$ 또는 $\displaystyle (a,b,c)=(3,2,1)$ 일 경우 최대이고 $\displaystyle g(0)=-2$ 이다.

〈제시문 3〉실수 $\displaystyle r$ 에 대하여 좌표평면 위의 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 한변의 길이는 $\displaystyle 12$ 이고 네 꼭짓점은 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{A}(-2,r),\ \mathrm{B}(-2,r+12),\ \mathrm{C}(-14,r+12),\ \mathrm{D}(-14,r)$

[문제 3-ⅰ] 〈제시문 2〉의 함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 정적분 $\displaystyle \int_{-1}^{1}g(x)dx$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅱ] 〈제시문 2〉의 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 열린구간 $\displaystyle \left(x_{0}-\frac{1}{2},\,x_{0}\right)$ 와 $\displaystyle \left(x_{0},\,x_{0}+\frac{1}{2}\right)$ 에서 미분가능하도록 하는 실수 $\displaystyle x_{0}$ 에 대하여 $\displaystyle \left|\lim_{x\to x_{0}-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to x_{0}+}g^{\prime}(x)\right|$ 이 될 수 있는 값을 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅲ] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$ 은 〈제시문 2〉의 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프 위를 움직이고, 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x_{2},y_{2})$ 는 〈제시문 3〉의 $\displaystyle r$ 에 관한 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 네 변 위를 움직인다. 아래의 두 조건 (1),(2)를 모두 만족하는 두 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$ 과 $\displaystyle \mathrm{R}(x_{2},y_{2})$ 가 존재하면 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 네 변 위에서 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x_{2},y_{2})$ 가 놓일 수 있는 부분의 길이를 $\displaystyle k(r)$ 이라 하고, 그러한 점들이 존재하지 않으면 $\displaystyle k(r)=0$ 으로 정의한다.(1) $\displaystyle 0\le x_{1}\le1$ (2) $\displaystyle y_{1}(x_{2}-1)+y_{2}(x_{1}+1)=2(x_{1}+x_{2})$ 이때 $\displaystyle k(r)$ 의 최댓값을 구하고 그 이유를 논하시오.

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[문제 3-ⅰ]

+10점 · 이차부등식을 이용하여 함수값의 크기를 비교하고, 관련 정적분의 값을 구할 수 있다.

실수 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle b>0$ 가 고정되었을 경우 $\displaystyle x^{3}-ax^{2}-cx^{2}+bx+acx-bc=\{x^{3}+bx+acx-(a+c)x^{2}\}-bc$ 가 최댓값을 가지려면, $\displaystyle x^{3}+bx+acx-(a+c)x^{2}$ 가 고정된 값이므로 $\displaystyle a>c$ 가 성립하여야 한다. 이 경우 $\displaystyle (a,b,c)$ 는 $\displaystyle (3,1,2),\ (3,2,1),\ (2,3,1)$ 세 가지 중 하나이다. 따라서 $\displaystyle x$ 가 주어졌을 때, $\displaystyle \begin{aligned} P(x) &=(x^{2}-3x+1)(x-2)=x^{3}-5x^{2}+7x-2 \\ Q(x) &=(x^{2}-3x+2)(x-1)=x^{3}-4x^{2}+5x-2 \\ R(x) &=(x^{2}-2x+3)(x-1)=x^{3}-3x^{2}+5x-3 \end{aligned}$ 중 가장 큰 값이 $\displaystyle g(x)$ 가 된다. 세 부등식 $\displaystyle P(x)>Q(x),\ Q(x)>R(x),\ P(x)>R(x)$ 은 모두 이차부등식이 되며, 이를 풀면 각각 $\displaystyle 0<x<2,\ -1<x<1,\ \frac{1-\sqrt{3}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 이 된다. 따라서 $\displaystyle P(x)$ 의 값이 가장 큰 경우는 $\displaystyle 0<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 이고, $\displaystyle Q(x)$ 의 값이 가장 큰 경우는 $\displaystyle -1<x<0$ 이고, $\displaystyle R(x)$ 의 값이 가장 큰 경우는 $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 이다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 모든 실수에서 연속임을 고려하여 종합하면 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}x^{3}-3x^{2}+5x-3 & (x\le-1) \\ x^{3}-4x^{2}+5x-2 & (-1<x\le0) \\ x^{3}-5x^{2}+7x-2 & \left(0<x\le\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ x^{3}-3x^{2}+5x-3 & \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}<x\right)\end{cases}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \int_{-1}^{1}g(x)dx=\int_{-1}^{0}g(x)dx+\int_{0}^{1}g(x)dx=\int_{-1}^{0}(x^{3}-4x^{2}+5x-2)dx+\int_{0}^{1}(x^{3}-5x^{2}+7x-2)dx=-6$ 이다.

[문제 3-ⅱ]

+10점 · 이차부등식을 이용하여 함수값의 크기를 비교하고, 우극한과 좌극한의 정의를 정확히 이해하고 있다.

[문제 3-ⅰ]의 함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}3x^{2}-6x+5 & (x<-1) \\ 3x^{2}-8x+5 & (-1<x<0) \\ 3x^{2}-10x+7 & \left(0<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ 3x^{2}-6x+5 & \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}<x\right)\end{cases}$ 이 성립한다. 따라서 $\displaystyle x_{0}$ 가 $\displaystyle -1,\ 0,\ \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 이외의 값일 경우에는 $\displaystyle \left|\lim_{x\to x_{0}-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to x_{0}+}g^{\prime}(x)\right|=\left|g^{\prime}(x_{0})-g^{\prime}(x_{0})\right|=0$ 이 된다. 또한 $\displaystyle \left|\lim_{x\to-1-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to-1+}g^{\prime}(x)\right|=2$ $\displaystyle \left|\lim_{x\to0-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to0+}g^{\prime}(x)\right|=2$ $\displaystyle \left|\lim_{x\to\frac{1+\sqrt{3}}{2}-}g^{\prime}(x)-\lim_{x\to\frac{1+\sqrt{3}}{2}+}g^{\prime}(x)\right|=2\sqrt{3}$ 이므로 답은 $\displaystyle 0,\ 2,\ 2\sqrt{3}$ 이다.

[문제 3-ⅲ]

+20점 · 주어진 식의 기하학적 의미를 올바르게 파악하고, 이를 활용하여 문제를 올바르게 해결할 수 있다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$ 가 $\displaystyle 0\le x_{1}\le1$ 인 경우만 고려되고, [문제 3-i]에서 $\displaystyle 0\le x\le1$ 인 경우 $\displaystyle g(x)=(x^{2}-3x+1)(x-2)=x^{3}-5x^{2}+7x-2$ 임을 확인하였다. 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 를 $\displaystyle y$ 축에 대칭시킨 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 를 고려하자. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x_{2},y_{2})$ 를 $\displaystyle y$ 축에 대칭한 점 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$ 은 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 의 네 변 위에 놓이게 된다. 주어진 조건 $\displaystyle y_{1}(x_{2}-1)+y_{2}(x_{1}+1)=2(x_{1}+x_{2})$ 은 $\displaystyle \frac{y_{2}-2}{-x_{2}+1}=\frac{y_{1}-2}{x_{1}+1}$ 이므로, 세 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1}),\mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2}),\mathrm{S}(-1,2)$ 가 한 직선 위에 놓이게 됨을 의미한다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$ 가 $\displaystyle y=g(x)\,(0\le x\le1)$ 의 그래프 위를 움직일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$ 와 $\displaystyle \mathrm{S}(-1,2)$ 를 지나는 직선 $\displaystyle l$ 이 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 와 만날 때의 교점이 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$ 이 된다. 따라서 실수 $\displaystyle r$ 이 고정되었을 때 모든 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$ 에 대하여 직선 $\displaystyle l$ 과 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 가 만나지 않을 경우 $\displaystyle k(r)=0$ 이고, 그렇지 않을 경우 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 의 네 변 위에서 점 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$ 가 놓일 수 있는 부분의 길이가 $\displaystyle k(r)$ 이 된다. 아래 그림에서 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 위의 빨간색 선이 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}(-x_{2},y_{2})$ 이 놓일 수 있는 부분이므로, 빨간색 선의 길이가 $\displaystyle k(r)$ 이 된다.

곡선 g(x)=x³−5x²+7x−2 위의 점 Q와 점 S(−1,2)를 지나는 직선이 정사각형 A′B′C′D′와 만나는 그림. 정사각형의 네 변 중 점 R′이 놓일 수 있는 부분이 빨간 선으로 표시되어 있다.

$\displaystyle r$ 의 값에 따라 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 는 두 직선 $\displaystyle x=2$ 와 $\displaystyle x=14$ 사이에서 위 아래로 움직일 수 있으므로, $\displaystyle k(r)$ 이 최댓값이 되기 위해선1. 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ 가 직선 $\displaystyle y=-4x-2$ 보다 위에 위치하면 안되고2. 점 $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}$ 가 직선 $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 보다 밑에 위치하면 안된다이를 고려하면 $\displaystyle r\le-10$ 과 $\displaystyle r+12\ge-\frac{11}{2}$ 이 성립해야 하고, 따라서 $\displaystyle -\frac{35}{2}\le r\le-10$ 범위에서 $\displaystyle k(r)$ 의 최댓값이 가능하다. 이때 $\displaystyle k(r)=\left(14+\frac{r+2}{4}\right)+\left(-\frac{11}{2}-r\right)+(-2r-23)+(r+22)=-\frac{7}{4}r+8$ Caution. 구간별로 다르게 정의된 함수에 주의해야 한다: $\displaystyle k(r)=-\frac74r+8$ 은 $\displaystyle -\frac{35}{2}\le r\le-\frac{23}{2}$ 에서 성립한다. $\displaystyle -\frac{23}{2}<r\le-10$ 에서는 윗변에 해당하는 부분이 없어지므로 $\displaystyle k(r)=-\frac34r+\frac{39}{2}$ 이다. 최댓값 $\displaystyle \frac{309}{8}$ 에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle -\frac{35}{2}\le r\le-10$ 범위에서 $\displaystyle k\left(-\frac{35}{2}\right)=\frac{245}{8}+8=\frac{309}{8}$ 이 최댓값이 된다.

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