수리형 1교시 2번

$\displaystyle a=2$이면 $\displaystyle b_{k}=2k-1$이고, $\displaystyle S_{n}=b_{1}+\cdots+b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n(n+1)-n=n^{2}$이다.$\displaystyle S_{11}=121<134$이고 $\displaystyle S_{12}=144>134$이다. 따라서 $\displaystyle T_{1},\ T_{2},\ T_{3},\ \cdots\ T_{11}$의 전체 넓이와 $\displaystyle T_{12}$의 일부 영역의 넓이의 합이 적분값이 된다. 특히 $\displaystyle T_{12}$의 일부 영역은 $\displaystyle T_{12}$ 전체 넓이에서 $\displaystyle T_{12}$의 $\displaystyle x$의 구간 $\displaystyle [134,S_{12}]=[134,144]$에 해당되는 $\displaystyle T_{12}$의 영역을 제외하면 된다. 제외하여야 하는 영역은 밑변의 길이가 $\displaystyle 10$이고 높이가 $\displaystyle 10\sqrt{3}$인 삼각형이므로 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times10\times10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$이다. 한편 $\displaystyle T_{1},\ T_{2},\ \cdots,\ T_{12}$의 넓이의 합은 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=1}^{12}b_{k}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=1}^{12}(4k^{2}-4k+1)$ 이다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{12}(4k^{2}-4k+1)=4\cdot\frac{12\cdot13\cdot25}{6}-4\cdot\frac{12\cdot13}{2}+12=4\cdot2\cdot13\cdot25-24\cdot13+12=2300$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=1}^{12}l_{k}^{2}=575\sqrt{3}$이다. 따라서 구하고자 하는 영역의 넓이는 $\displaystyle 575\sqrt{3}-50\sqrt{3}=525\sqrt{3}$이다.Correction. 넓이 계산에 쓰인 $\displaystyle l_k$는 제시문에서 정의한 $\displaystyle b_k$를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle a=1$이면 $\displaystyle b_{n}=n$이다. 따라서 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$이고 삼각형 $\displaystyle T_{n}$의 중점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2}(S_{n-1}+S_{n})=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{n^{2}}{2}$이다.점 $\displaystyle (-1,0)$의 $\displaystyle x$좌표부터 $\displaystyle T_{n}$의 중점의 $\displaystyle x$좌표까지의 거리는 $\displaystyle \frac{n^{2}}{2}+1$이다. 그리고 삼각형 $\displaystyle T_{n}$의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}b_{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}n$이다. 따라서 $\displaystyle (-1,0)$에서 $\displaystyle T_{n}$의 제1사분면 위의 꼭짓점까지 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}n}{\frac{n^{2}}{2}+1}=\frac{\sqrt{3}n}{n^{2}+2}$이다. 이 기울기가 직선 $\displaystyle l$의 기울기 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{10}$보다 크면 $\displaystyle l$과 $\displaystyle T_{n}$은 두 점에서 만나고, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{10}$과 같으면 한 점에서 만나고, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{10}$보다 작으면 만나지 않는다. 따라서 먼저 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}n}{n^{2}+2}>\frac{\sqrt{3}}{10}$이 되는 $\displaystyle n$의 범위를 찾으면 $\displaystyle 10n>n^{2}+2$인 범위를 찾으면 되고, $\displaystyle n^{2}-10n+2<0$인 범위이므로 $\displaystyle 5-\sqrt{23}<n<5+\sqrt{23}$이 되고, 가능한 자연수는 $\displaystyle n=1,2,\cdots,8,9$가 된다. 한편 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}n}{n^{2}+2}=\frac{\sqrt{3}}{10}$인 자연수는 없다. 따라서 $\displaystyle T_{1},\ \cdots,T_{9}$가 직선 $\displaystyle l$과 각각 두점에서 만나므로 만나는 점의 개수는 18개이다.

(풀이1) $\displaystyle S_{n}=b_{1}+\cdots+b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(1-a+ka)=n+a\frac{n(n-1)}{2}$이다.따라서 삼각형 $\displaystyle T_{n}$의 중점의 좌표는$\displaystyle \frac{1}{2}(S_{n}+S_{n-1})=\frac{1}{2}\left[n+\frac{an(n-1)}{2}+(n-1)+\frac{a(n-1)(n-2)}{2}\right]=\frac{1}{2}\left[2n-1+a(n-1)^{2}\right]$으로 주어지게 된다. 한편 $\displaystyle T_{n}$의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(1-a+na)$이다. 원점부터 삼각형 $\displaystyle T_{n}$의 제1사분위의 꼭짓점과 $\displaystyle (-1,0)$를 잇는 직선의 기울기는$\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(1-a+na)}{\frac{1}{2}\left[2n-1+a(n-1)^{2}\right]+1}$이고 이 기울기가 직선 $\displaystyle l$의 기울기 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{30}$보다 크면 $\displaystyle T_{n}$과 직선 $\displaystyle l$은 두점에서 만나고, 같으면 한점에서 만나며, 작으면 만나지 않는다. $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle l$이 만나는 점의 개수가 30이려면 $\displaystyle T_{15}$와 2개의 점에서 만나고, $\displaystyle T_{16}$과 만나지 않는다. 따라서 $\displaystyle n=15$일 때 $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(14a+1)}{\frac{1}{2}(29+14^{2}a)+1}>\frac{\sqrt{3}}{30}$을 만족하고 따라서 $\displaystyle a>\frac{1}{224}$.$\displaystyle n=16$일 때 $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(15a+1)}{\frac{1}{2}(29+15^{2}a)+1}<\frac{\sqrt{3}}{30}$이 성립하고, 따라서 $\displaystyle a<\frac{1}{75}$. 따라서 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle \frac{1}{224}<a<\frac{1}{75}$이다.Correction. $\displaystyle n=16$을 대입한 식의 분모에서 $\displaystyle 29$는 $\displaystyle 31$이어야 한다. 이를 적용하면 $\displaystyle a<1/75$가 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.