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수리형 3교시 2번

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성균관대 2026학년도 수시 수리형 3교시 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2026su/suri3_2

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[문제 2] 다음 〈제시문 1〉과 〈제시문 2〉를 읽고 [문제2-ⅰ] ~ [문제2-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉한 원 위에 세 점 A,B,D1\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{D}_{1}이 시계 반대 방향으로 놓여져 있고, 0<θ<π4\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}인 θ\displaystyle \theta에 대하여, ∠BAD1=2θ\displaystyle \angle\mathrm{BAD}_{1}=2\theta이다. 각 BAD1\displaystyle \mathrm{BAD}_{1}의 이등분선이 원과 만나는 점 중에서 점 A\displaystyle \mathrm{A}가 아닌 점을 점 C1\displaystyle \mathrm{C}_{1}이라고 하자.

〈제시문 2〉〈제시문1〉의 삼각형 ABD1\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}을 생각하자. 그림과 같이 2 이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 직선 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 직선 Cn−1Dn−1\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}\mathrm{D}_{n-1}이 서로 평행이 아닐 때, 두 점 Cn\displaystyle \mathrm{C}_{n}과 Dn\displaystyle \mathrm{D}_{n}을 다음과 같이 귀납적으로 정의하자. 점 B\displaystyle \mathrm{B}를 지나고 직선 Cn−1Dn−1\displaystyle \mathrm{C}_{n-1}\mathrm{D}_{n-1}과 평행한 직선이 직선 AD1\displaystyle \mathrm{AD}_{1}과 만나는 점을 점 Dn\displaystyle \mathrm{D}_{n}이라 하고, 각 BADn\displaystyle \mathrm{BAD}_{n}의 이등분선이 삼각형 ABDn\displaystyle \mathrm{ABD}_{n}의 외접원과 만나는 점 중에서 점 A\displaystyle \mathrm{A}가 아닌 점을 점 Cn\displaystyle \mathrm{C}_{n}으로 정의한다.

한 원 위의 세 점 A, B, D₁과 각 BAD₁의 이등분선이 원과 만나는 점 C₁을 그린 그림. 안쪽에 두 번째 원과 점 C₂, D₂가 함께 표시되어 있고 점 A의 각이 θ, θ로 나뉘어 있다.

[문제 2-ⅰ] 〈제시문 1〉에서 AB‾:AD1‾=m:1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{1}}=m:1이라고 하자. 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 선분 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}이 서로 평행일 때, m\displaystyle m과 θ\displaystyle \theta의 관계식을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅱ] 〈제시문 2〉에서 AB‾=AD1‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}_{1}}=2이고, 직선 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 직선 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}의 교점을 점 P\displaystyle \mathrm{P}라고 하자. 이때 AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}를 tan⁡θ\displaystyle \tan\theta에 관한 식으로 표현하고, 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅲ] 〈제시문 2〉에서 AB‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2, AD1‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{1}}=3이고 θ=π6\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}라고 하자. 이때 ∠BADn=23π\displaystyle \angle\mathrm{BAD}_{n}=\frac{2}{3}\pi가 되는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값과 그때 ADn−1‾\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{n-1}}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2026학년도 수시 수리형 3교시 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2026su/suri3_2

[문제 2-ⅰ]

+10점 · 제시문에 주어진 두 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 CD\displaystyle \mathrm{CD}가 서로 평행이 되는 조건을 사인법칙을 활용하여 제대로 구할 수 있다.

Correction. 채점기준의 선분 CD\displaystyle \mathrm{CD}는 선분 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

주어진 조건으로부터 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 선분 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}이 서로 평행하므로, 각 AC1D1\displaystyle \mathrm{AC}_{1}\mathrm{D}_{1}과 각 BAC1\displaystyle \mathrm{BAC}_{1}은 엇각으로 같게 되어 크기가 θ\displaystyle \theta가 된다. 각 AC1D1\displaystyle \mathrm{AC}_{1}\mathrm{D}_{1}과 각 ABD1\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}은 호 AD1\displaystyle \mathrm{AD}_{1}에 대한 원주각으로 서로 같게 되므로, 크기가 θ\displaystyle \theta가 된다. 또한 ∠C1AD1=θ\displaystyle \angle\mathrm{C}_{1}\mathrm{AD}_{1}=\theta이므로, 호 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}에 대한 원주각인 각 C1BD1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{BD}_{1}의 크기도 θ\displaystyle \theta가 된다. 마찬가지로 ∠BAC1=θ\displaystyle \angle\mathrm{BAC}_{1}=\theta이므로, 호 BC1\displaystyle \mathrm{BC}_{1}에 대한 원주각인 각 BD1C1\displaystyle \mathrm{BD}_{1}\mathrm{C}_{1}의 크기도 θ\displaystyle \theta가 된다. 사각형 ABC1D1\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}\mathrm{D}_{1}이 원에 내접하므로, ∠ABC1+∠AD1C1=2θ+(θ+α)=π\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}+\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}=2\theta+(\theta+\alpha)=\pi가 성립한다. 여기서 α=∠AD1B\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{B}이다. 따라서 sin⁡α=sin⁡(3θ)\displaystyle \sin\alpha=\sin(3\theta)임을 알 수 있다. 이제 삼각형 ABD1\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}에 사인법칙을 적용하면, AB‾sin⁡α=AD1‾sin⁡θ\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\alpha}=\frac{\overline{\mathrm{AD}_{1}}}{\sin\theta}이므로, msin⁡(3θ)=1sin⁡θ\displaystyle \frac{m}{\sin(3\theta)}=\frac{1}{\sin\theta}가 되어 sin⁡(3θ)=msin⁡θ\displaystyle \sin(3\theta)=m\sin\theta를 얻는다.답: sin⁡(3θ)=msin⁡θ\displaystyle \sin(3\theta)=m\sin\theta

[문제 2-ⅱ]

+5점 · 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}의 길이를 코사인법칙을 활용하여 제대로 구할 수 있다.

주어진 조건으로부터 삼각형 ABC1\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}은 삼각형 AD1C1\displaystyle \mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}과 서로 합동이 된다. 따라서 ∠ABC1=∠AD1C1\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}=\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}이고, 사각형 ABC1D1\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}\mathrm{D}_{1}이 원에 내접하므로, ∠ABC1+∠AD1C1=π\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}+\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}=\pi이다. 이로부터 ∠ABC1=∠AD1C1=π2\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}=\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}=\frac{\pi}{2}임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 ABC1\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}은 삼각형 AD1C1\displaystyle \mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}과 서로 합동인 직각삼각형이다. 이로부터 C1D1‾=2tan⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=2\tan\theta를 얻는다. x=AP‾\displaystyle x=\overline{\mathrm{AP}}, t=tan⁡θ\displaystyle t=\tan\theta라고 두자. 삼각형 APD1\displaystyle \mathrm{APD}_{1}에서 각 PAD1\displaystyle \mathrm{PAD}_{1}의 이등분선과 선분 PD1\displaystyle \mathrm{PD}_{1}의 교점이 C1\displaystyle \mathrm{C}_{1}이므로, PC1‾:C1D1‾=AP‾:AD1‾=x:2\displaystyle \overline{\mathrm{PC}_{1}}:\overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{AD}_{1}}=x:2가 성립하고 C1D1‾=2t\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=2t이므로 PC1‾=xt\displaystyle \overline{\mathrm{PC}_{1}}=xt가 된다. 이제 점 P\displaystyle \mathrm{P}으로부터 원에 그은 할선들의 길이 사이의 관계로부터, (x−2)⋅x=xt⋅(x+2)t\displaystyle (x-2)\cdot x=xt\cdot(x+2)t이므로, x=2(1+t2)1−t2\displaystyle x=\frac{2(1+t^{2})}{1-t^{2}}을 얻는다. 따라서 AP‾=2(1+tan⁡2θ)1−tan⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac{2(1+\tan^{2}\theta)}{1-\tan^{2}\theta}이다.답: 2(1+tan⁡2θ)1−tan⁡2θ\displaystyle \frac{2(1+\tan^{2}\theta)}{1-\tan^{2}\theta}

[문제 2-ⅲ]

+15점 · 귀납적으로 정의된 두 점 Cn\displaystyle \mathrm{C}_{n}과 Dn\displaystyle \mathrm{D}_{n}을 제대로 구하고, 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}의 기울기와 선분 CnDn\displaystyle \mathrm{C}_{n}\mathrm{D}_{n}의 기울기의 비가 작아지는 최소의 n\displaystyle n을 구하고, 그때 선분 ADn−1\displaystyle \mathrm{AD}_{n-1}의 길이를 경우를 제대로 구할 수 있다.

문제에 주어진 점들을 좌표평면에서 잡고 직선 AB\displaystyle \mathrm{AB}의 기울기가 양수인 경우를 생각하자. [문제 2-i]의 결과로부터 AB‾:ADn‾=2:1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{n}}=2:1인 경우에 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 선분 CnDn\displaystyle \mathrm{C}_{n}\mathrm{D}_{n}이 서로 평행하게 됨을 주목하자. AB‾:AD1‾=23:1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{1}}=\frac{2}{3}:1이므로 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}의 기울기는 선분 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}의 기울기보다 더 큼을 알 수 있다. (다음 그림 참조)점 P1\displaystyle \mathrm{P}_{1}을 직선 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 직선 C1D1\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}의 교점으로 놓고, 선분 AP1\displaystyle \mathrm{AP}_{1}의 길이를 x\displaystyle x라고 하자. 삼각형 AP1D1\displaystyle \mathrm{AP}_{1}\mathrm{D}_{1}에 코사인법칙을 적용하면, P1D1‾=x2−3x+9\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\sqrt{x^{2}-3x+9}를 얻는다. 점 C1\displaystyle \mathrm{C}_{1}은 선분 P1D1\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{D}_{1}을 x:3\displaystyle x:3으로 내분하는 점이므로, P1C1‾=x2−3x+9⋅xx+3\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\sqrt{x^{2}-3x+9}\cdot\frac{x}{x+3}이다. 이제 점 P1\displaystyle \mathrm{P}_{1}으로부터 삼각형 ABD1\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}의 외접원에 그은 할선들의 길이 사이의 관계로부터,(x−2)⋅x=x2−3x+9⋅xx+3⋅x2−3x+9\displaystyle (x-2)\cdot x=\sqrt{x^{2}-3x+9}\cdot\frac{x}{x+3}\cdot\sqrt{x^{2}-3x+9}이므로 이를 정리하면, x=154\displaystyle x=\frac{15}{4}를 얻는다. 삼각형 ABD2\displaystyle \mathrm{ABD}_{2}와 삼각형 AP1D1\displaystyle \mathrm{AP}_{1}\mathrm{D}_{1}이 서로 닮아 있으므로, 비례식 AD2‾:3=2:154\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{2}}:3=2:\frac{15}{4}가 성립하고, 이로부터 AD2‾=85\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{2}}=\frac{8}{5}을 얻는다. 이제 AB‾:AD2‾=1.25:1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{2}}=1.25:1이므로 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}의 기울기는 선분 C2D2\displaystyle \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}의 기울기보다 더 큼을 알 수 있다. 이제 점 P2\displaystyle \mathrm{P}_{2}를 직선 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 직선 C2D2\displaystyle \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}의 교점으로 놓고, 선분 AP2\displaystyle \mathrm{AP}_{2}의 길이를 t\displaystyle t라고 하자. 삼각형 AP2D2\displaystyle \mathrm{AP}_{2}\mathrm{D}_{2}에 코사인법칙을 적용하면, P2D2‾=25t2−40t+645\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{D}_{2}}=\frac{\sqrt{25t^{2}-40t+64}}{5}를 얻는다. 점 C2\displaystyle \mathrm{C}_{2}은 선분 P2D2\displaystyle \mathrm{P}_{2}\mathrm{D}_{2}을 t:85\displaystyle t:\frac{8}{5}로 내분하는 점이므로, P2C2‾=25t2−40t+645⋅tt+1.6\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{C}_{2}}=\frac{\sqrt{25t^{2}-40t+64}}{5}\cdot\frac{t}{t+1.6}이다. 이제 점 P2\displaystyle \mathrm{P}_{2}으로부터 삼각형 ABD2\displaystyle \mathrm{ABD}_{2}의 외접원에 그은 할선들의 길이 사이의 관계로부터, t=245\displaystyle t=\frac{24}{5}를 얻는다. 삼각형 ABD3\displaystyle \mathrm{ABD}_{3}과 삼각형 AP2D2\displaystyle \mathrm{AP}_{2}\mathrm{D}_{2}가 서로 닮아있으므로, 비례식 AD3‾:85=2:245\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}:\frac{8}{5}=2:\frac{24}{5}가 성립하고, 이로부터 AD3‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}=\frac{2}{3}을 얻는다. 이제 AB‾:AD3‾=3:1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{3}}=3:1이므로 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}의 기울기는 선분 C3D3\displaystyle \mathrm{C}_{3}\mathrm{D}_{3}의 기울기보다 더 작아짐을 알 수 있다. 따라서 직선 AD1\displaystyle \mathrm{AD}_{1} 위에 점 D4\displaystyle \mathrm{D}_{4}와 점 D3\displaystyle \mathrm{D}_{3} 사이에 점 A\displaystyle \mathrm{A}가 위치하게 된다. 따라서 ∠BADn=2π3\displaystyle \angle\mathrm{BAD}_{n}=\frac{2\pi}{3}가 되는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값은 4이고 그때 AD3‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}=\frac{2}{3}이다.답: ∠BADn=2π3\displaystyle \angle\mathrm{BAD}_{n}=\frac{2\pi}{3}가 되는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값: 4\displaystyle 4, AD3‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}=\frac{2}{3}

점 A, B와 귀납적으로 정의된 점 C₁, C₂, C₃, D₁, D₂, D₃, 그리고 직선 AB와 직선 CₙDₙ의 교점 P₁, P₂를 여러 외접원과 함께 그린 그림.

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