수리형 3교시 2번

주어진 조건으로부터 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}$이 서로 평행하므로, 각 $\displaystyle \mathrm{AC}_{1}\mathrm{D}_{1}$과 각 $\displaystyle \mathrm{BAC}_{1}$은 엇각으로 같게 되어 크기가 $\displaystyle \theta$가 된다. 각 $\displaystyle \mathrm{AC}_{1}\mathrm{D}_{1}$과 각 $\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}$은 호 $\displaystyle \mathrm{AD}_{1}$에 대한 원주각으로 서로 같게 되므로, 크기가 $\displaystyle \theta$가 된다. 또한 $\displaystyle \angle\mathrm{C}_{1}\mathrm{AD}_{1}=\theta$이므로, 호 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}$에 대한 원주각인 각 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{BD}_{1}$의 크기도 $\displaystyle \theta$가 된다. 마찬가지로 $\displaystyle \angle\mathrm{BAC}_{1}=\theta$이므로, 호 $\displaystyle \mathrm{BC}_{1}$에 대한 원주각인 각 $\displaystyle \mathrm{BD}_{1}\mathrm{C}_{1}$의 크기도 $\displaystyle \theta$가 된다. 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}\mathrm{D}_{1}$이 원에 내접하므로, $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}+\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}=2\theta+(\theta+\alpha)=\pi$가 성립한다. 여기서 $\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{B}$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\alpha=\sin(3\theta)$임을 알 수 있다. 이제 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}$에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\alpha}=\frac{\overline{\mathrm{AD}_{1}}}{\sin\theta}$이므로, $\displaystyle \frac{m}{\sin(3\theta)}=\frac{1}{\sin\theta}$가 되어 $\displaystyle \sin(3\theta)=m\sin\theta$를 얻는다.답: $\displaystyle \sin(3\theta)=m\sin\theta$

주어진 조건으로부터 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}$과 서로 합동이 된다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}=\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}$이고, 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}\mathrm{D}_{1}$이 원에 내접하므로, $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}+\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}=\pi$이다. 이로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}_{1}=\angle\mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}=\frac{\pi}{2}$임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}_{1}$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1}$과 서로 합동인 직각삼각형이다. 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=2\tan\theta$를 얻는다. $\displaystyle x=\overline{\mathrm{AP}}$, $\displaystyle t=\tan\theta$라고 두자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APD}_{1}$에서 각 $\displaystyle \mathrm{PAD}_{1}$의 이등분선과 선분 $\displaystyle \mathrm{PD}_{1}$의 교점이 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}_{1}}:\overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{AD}_{1}}=x:2$가 성립하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=2t$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}_{1}}=xt$가 된다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}$으로부터 원에 그은 할선들의 길이 사이의 관계로부터, $\displaystyle (x-2)\cdot x=xt\cdot(x+2)t$이므로, $\displaystyle x=\frac{2(1+t^{2})}{1-t^{2}}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac{2(1+\tan^{2}\theta)}{1-\tan^{2}\theta}$이다.답: $\displaystyle \frac{2(1+\tan^{2}\theta)}{1-\tan^{2}\theta}$

문제에 주어진 점들을 좌표평면에서 잡고 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기가 양수인 경우를 생각하자. [문제 2-i]의 결과로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{n}}=2:1$인 경우에 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}\mathrm{D}_{n}$이 서로 평행하게 됨을 주목하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{1}}=\frac{2}{3}:1$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기는 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}$의 기울기보다 더 큼을 알 수 있다. (다음 그림 참조)점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$을 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}$의 교점으로 놓고, 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}_{1}$의 길이를 $\displaystyle x$라고 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_{1}\mathrm{D}_{1}$에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\sqrt{x^{2}-3x+9}$를 얻는다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{D}_{1}$을 $\displaystyle x:3$으로 내분하는 점이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\sqrt{x^{2}-3x+9}\cdot\frac{x}{x+3}$이다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$으로부터 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}_{1}$의 외접원에 그은 할선들의 길이 사이의 관계로부터,$\displaystyle (x-2)\cdot x=\sqrt{x^{2}-3x+9}\cdot\frac{x}{x+3}\cdot\sqrt{x^{2}-3x+9}$이므로 이를 정리하면, $\displaystyle x=\frac{15}{4}$를 얻는다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}_{2}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_{1}\mathrm{D}_{1}$이 서로 닮아 있으므로, 비례식 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{2}}:3=2:\frac{15}{4}$가 성립하고, 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{2}}=\frac{8}{5}$을 얻는다. 이제 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{2}}=1.25:1$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기는 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}$의 기울기보다 더 큼을 알 수 있다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$를 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}$의 교점으로 놓고, 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}_{2}$의 길이를 $\displaystyle t$라고 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_{2}\mathrm{D}_{2}$에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{D}_{2}}=\frac{\sqrt{25t^{2}-40t+64}}{5}$를 얻는다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}\mathrm{D}_{2}$을 $\displaystyle t:\frac{8}{5}$로 내분하는 점이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{C}_{2}}=\frac{\sqrt{25t^{2}-40t+64}}{5}\cdot\frac{t}{t+1.6}$이다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$으로부터 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}_{2}$의 외접원에 그은 할선들의 길이 사이의 관계로부터, $\displaystyle t=\frac{24}{5}$를 얻는다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}_{3}$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_{2}\mathrm{D}_{2}$가 서로 닮아있으므로, 비례식 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}:\frac{8}{5}=2:\frac{24}{5}$가 성립하고, 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}=\frac{2}{3}$을 얻는다. 이제 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AD}_{3}}=3:1$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기는 선분 $\displaystyle \mathrm{C}_{3}\mathrm{D}_{3}$의 기울기보다 더 작아짐을 알 수 있다. 따라서 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}_{1}$ 위에 점 $\displaystyle \mathrm{D}_{4}$와 점 $\displaystyle \mathrm{D}_{3}$ 사이에 점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 위치하게 된다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{BAD}_{n}=\frac{2\pi}{3}$가 되는 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 4이고 그때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}=\frac{2}{3}$이다.답: $\displaystyle \angle\mathrm{BAD}_{n}=\frac{2\pi}{3}$가 되는 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값: $\displaystyle 4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}_{3}}=\frac{2}{3}$