수리형 2교시 3번

곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.$\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle t$로 치환하면, $\displaystyle f(f(x))\le f(x)+1$이라는 조건은 $\displaystyle f(t)\le t+1$이 된다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x+1$의 그래프를 비교해보면, $\displaystyle f(t)\le t+1$이 되는 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle t\ge1$임을 알 수 있다. 〈제시문1〉에 주어진 함수의 정의로부터 $\displaystyle f(x)\ge1$이 되는 $\displaystyle x$의 범위를 조사해 보면, $\displaystyle -x^{2}+3x=1$의 두 실근 중에서 더 큰 실근을 $\displaystyle a$라고 했을 때, $\displaystyle x\le a$가 된다. 여기서 $\displaystyle a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$이므로, 집합 $\displaystyle D_{1}=(-\infty,a]$일 때, $\displaystyle a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$이다.비슷한 방법으로, $\displaystyle f(f(x))\le f(x)$라는 조건은 $\displaystyle f(t)\le t$이 된다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x$의 그래프를 비교해보면, $\displaystyle f(t)\le t$이 되는 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle t\ge2$임을 알 수 있다. 〈제시문1〉에 주어진 함수의 정의로부터 $\displaystyle f(x)\ge2$이 되는 $\displaystyle x$의 범위를 조사해 보면, $\displaystyle x\le0$ 이거나 $\displaystyle 1\le x\le2$임을 알 수 있다. 따라서 집합 $\displaystyle D_{2}=(-\infty,b]\cup[c,d]$일 때, $\displaystyle b=0$, $\displaystyle c=1$, $\displaystyle d=2$가 된다.답: $\displaystyle a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, $\displaystyle b=0$, $\displaystyle c=1$, $\displaystyle d=2$

문제에 주어진 상황을 그림으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.점 $\displaystyle \mathrm{N}$과 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나는 직선의 기울기를 $\displaystyle m$이라고 하자. 먼저 점 $\displaystyle (0,1)$을 지나고 $\displaystyle y=x^{2}-x+2$에 접하는 직선을 찾아보자. 접점을 $\displaystyle (t,t^{2}-t+2)$라 하고 접선의 방정식을 구해보면, $\displaystyle y=(2t-1)(x-t)+t^{2}-t+2$가 되는데, 이 접선이 점 $\displaystyle (0,1)$을 지나므로, $\displaystyle t=\pm1$을 얻는다. 이로부터 접선의 기울기는 $\displaystyle -3$ 또는 $\displaystyle 1$이 된다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 0$이 아니고, $\displaystyle 1$ 이하인 경우에, 직선 $\displaystyle y=mx+1$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 교점이 생기도록 하는 $\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle m\ge1$ 또는 $\displaystyle m\le-3$임을 알 수 있다. 한편 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle (0,2)$인 경우에 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 $\displaystyle (0,-1)$이 된다.곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 관찰해보면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle (1,2]$에 속한 경우에는 직선 $\displaystyle \mathrm{NP}$의 기울기 $\displaystyle m$이 $\displaystyle \frac{1}{2}\le m\le1$을 만족하게 된다. 또한 $\displaystyle 2<x\le a$ (여기서 $\displaystyle a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$)일 때, 직선 $\displaystyle y=mx+1$과 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+3x$의 교점이 생기도록하는 $\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle 0\le m\le\frac{1}{2}$임을 알 수 있다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle (0,2)$가 아니고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표가 집합 $\displaystyle D_{1}$에 속하는 경우, 직선 $\displaystyle \mathrm{NP}$의 기울기 $\displaystyle m$은 $\displaystyle m\le-3$ 또는 $\displaystyle m\ge0$임을 알 수 있다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{R}_{0}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$을 $\displaystyle \mathrm{R}_{0}(-1,0)$, $\displaystyle \mathrm{R}_{1}(0,-1)$로 놓고, $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$를 $\displaystyle m=-3$일 때, 대응하는 점이라 하자. $\displaystyle m\ge0$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 $\displaystyle \mathrm{N}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{0}$, $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$을 시계 반대 방향으로 연결하는 호 위를 움직이고, $\displaystyle m\le-3$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$를 시계 반대 방향으로 연결하는 호 위를 움직인다. 따라서 문제에서 요구하는 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \mathrm{N}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$를 연결하는 더 긴 쪽의 호의 길이와 같게 되므로 $\displaystyle \pi+\overset{\frown}{\mathrm{R}_{1}\mathrm{R}_{2}}$이 된다. 따라서$\displaystyle \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\overset{\frown}{\mathrm{R}_{1}\mathrm{R}_{2}}}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}+\angle\mathrm{ONR}_{1}\right)$이고 $\displaystyle \frac{\pi}{2}+\angle\mathrm{ONR}_{1}$은 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 직선 $\displaystyle y=-3x+1$이 이루는 각의 크기와 같으므로, $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}+\angle\mathrm{ONR}_{1}\right)=-3$임을 알 수 있다.Correction. $\displaystyle \angle\mathrm{ONR}_1$은 $\displaystyle \angle\mathrm{ONR}_2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.답: $\displaystyle -3$

점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle D_{2}\cap(1,\infty)=(1,2]$에 속하는 경우, 기울기가 $\displaystyle m$인 직선 $\displaystyle \mathrm{NP}$의 방정식 $\displaystyle y=mx+1$과 원의 방정식 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$을 연립하면, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac{2m}{1+m^{2}},\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}\right)$임을 알 수 있다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{NQR}$이 선분 $\displaystyle \mathrm{QR}$을 빗변으로 하는 직각삼각형이면 선분 $\displaystyle \mathrm{QR}$은 원의 지름이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{QR}$이 지름이 되는 경우에, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 원점 대칭점이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2m}{1+m^{2}},\frac{m^{2}-1}{m^{2}+1}\right)$이 된다. 원 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$에서의 접선과 직선 $\displaystyle \mathrm{NP}$의 교점이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위에 놓여있어야 한다. 교점의 좌표를 구하면, $\displaystyle \left(\frac{2}{m(1+m^{2})},\frac{m^{2}+3}{m^{2}+1}\right)$이 되고, 이 좌표값을 $\displaystyle y=x+1$에 대입하고 정리하면, $\displaystyle m=1$을 얻는다. 이때 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 1$이므로, $\displaystyle D_{2}\cap(1,\infty)=(1,2]$에 속하지 않게 된다.이제 [문제 3-ii] 풀이에서 $\displaystyle \frac{1}{2}\le m\le1$인 $\displaystyle m$에 대하여, $\displaystyle \left(\frac{2}{m(1+m^{2})},\frac{m^{2}+3}{m^{2}+1}\right)$의 좌표값을 $\displaystyle y=-x+4$에 대입하고 정리하면, $\displaystyle 3m^{3}+m-2=0$을 얻는다. $\displaystyle h(m)=3m^{3}+m-2$로 두면, $\displaystyle h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{8}<0$이고 $\displaystyle h(1)=2>0$이므로, 사잇값의 정리 (〈제시문3〉)에 의해 $\displaystyle h(m)=0$의 실근 $\displaystyle \beta$가 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$에 존재하게 된다. 또한 $\displaystyle m=\beta$에 대응하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{3}{2},2\right)$에 속하게 된다. 따라서 $\displaystyle \beta$가 만족하는 삼차방정식은 $\displaystyle x^{3}+\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0$이므로, $\displaystyle p=0$, $\displaystyle q=\frac{1}{3}$, $\displaystyle r=-\frac{2}{3}$임을 알 수 있다.답: $\displaystyle p=0$, $\displaystyle q=\frac{1}{3}$, $\displaystyle r=-\frac{2}{3}$