수리형 2교시 2번

$\displaystyle g(x+4)=g(x)$이므로 $\displaystyle h(x+4)=h(x)$이다.또한, $\displaystyle \left|g(x)-g(x-1)\right|=\begin{cases}|1-2x| & (0\le x\le1) \\ 1 & (1<x<2)\end{cases}$이므로, $\displaystyle h(x)=\begin{cases}x|1-2x| & (0\le x\le1) \\ 2-x & (1\le x\le2)\end{cases}$이다.마찬가지로, $\displaystyle h(x)=\begin{cases}(2-x)|5-2x| & (2\le x\le3) \\ x-4 & (3\le x\le4)\end{cases}$이다.이제 $\displaystyle H(x)=\int_{1}^{x}h(t)dt$라고 하면 $\displaystyle H^{\prime}(x)=h(x)$이므로, 함수 $\displaystyle H(x)$는 다음 표와 같은 증감표를 가진다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & \cdots & 2 & \cdots & 3 & \cdots & 4 & \cdots & 5 \\ \hline H^{\prime}(x)=h(x) & 1 & + & 0 & - & -1 & - & 0 & + & 1 \\ \hline H(x) & & \nearrow & & \searrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$또한 $\displaystyle \alpha=\int_{4}^{5}h(t)dt=\int_{0}^{1}h(t)dt=\int_{0}^{1}t|1-2t|dt=\frac{1}{4}$이고 $\displaystyle \beta=\int_{1}^{2}h(t)dt=\frac{1}{2}$이다.그리고 $\displaystyle \int_{2}^{3}h(t)dt=-\alpha=-\frac{1}{4}$이고 $\displaystyle \int_{3}^{4}h(t)dt=-\beta=-\frac{1}{2}$이다. 이로부터$\displaystyle H(1)=0,\ H(2)=\frac{1}{2},\ H(3)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4},\ H(4)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4},\ H(5)=0$을 얻게 된다. 따라서, $\displaystyle \int_{1}^{5}h(t)dt=0$이고 모든 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle \int_{1}^{4k+1}h(t)dt=0$이다.위의 증감표와 사잇값 정리로부터 닫힌구간 $\displaystyle [3,4]$에서 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$를 만족하는 유일한 $\displaystyle x$가 존재한다.따라서, 모든 정수 $\displaystyle k$에 대해 구간 $\displaystyle (4k-3,4k+1]$위에 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$를 만족하는 $\displaystyle x$가 정확히 두 개 존재한다.이로부터 닫힌구간 $\displaystyle [2,\,2026]$에서 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$를 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 506\times2=1012$개 존재한다.

$\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}$일 때, $\displaystyle g(x+2)=g(x)$이고 $\displaystyle h(x+2)=h(x)$이다.그리고 $\displaystyle \left|g(x)-g(x-1)\right|=\begin{cases}|1-2x| & (0\le x\le1) \\ |3-2x| & (1<x<2)\end{cases}$이므로 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}x^{2}|1-2x| & (0\le x\le1) \\ (x-2)^{2}|3-2x| & (1\le x\le2)\end{cases}$이다.구하고자 정적분은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx &=\int_{0}^{2}h(x)dx+\int_{2}^{4}h(x)dx+\cdots+\int_{1010}^{1012}h(x)dx+\int_{1012}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx \\ &=506\left(\int_{0}^{1}h(x)dx+\int_{1}^{2}h(x)dx\right)+\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)dx \end{aligned}$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)dx=\int_{\frac{3}{2}}^{2}h(x)dx=\frac{1}{96}$과 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1}h(x)dx=\int_{1}^{\frac{3}{2}}h(x)dx=\frac{17}{96}$이므로,$\displaystyle \int_{0}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx=506\left(\frac{1}{96}+\frac{17}{96}+\frac{17}{96}+\frac{1}{96}\right)+\frac{1}{96}=\frac{18217}{96}$이다.

$\displaystyle g(x+4)=g(x)$이므로 $\displaystyle h(x+4)=h(x)$를 얻게 되어 $\displaystyle \int_{2023}^{2025}h(x)dx=\int_{-1}^{1}h(x)dx$이다.$\displaystyle \left|g(x)-g(x-1)\right|=\begin{cases}a & (-1\le x\le0) \\ a|1-2x| & (0<x<1)\end{cases}$이므로 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}a(ax+(b-a)) & (-1\le x\le0) \\ a|1-2x|(ax+(b-a)) & (0\le x\le1)\end{cases}$이다.$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1}h(x)dx &=\int_{-1}^{0}h(x)dx+\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}h(x)dx \\ &=a\left[\left(b-\frac{3}{2}a\right)+\left(-\frac{5}{24}a+\frac{1}{4}b\right)+\left(-\frac{1}{24}a+\frac{1}{4}b\right)\right] \\ &=a\left(-\frac{7}{4}a+\frac{3}{2}b\right)<0 \end{aligned}$으로부터 $\displaystyle a<b<\frac{7}{6}a$를 얻게 된다. 이를 만족하는 순서쌍은 $\displaystyle (7,8),\ (8,9),\ (9,10)$이다.