성균관대 2026학년도 수시 수리형 2교시 2번 해설

[문제 2] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제2-ⅰ] ~ [문제2-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

〈제시문 1〉미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가(1) 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.(2) 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.

〈제시문 2〉함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle a,\,b$ 를 포함하는 구간에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라고 하면 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle b$ 까지의 정적분은 다음과 같다. $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

〈제시문 3〉연속함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle g(x+4)=g(x)$ 와 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}f(x) & (-2\le x\le0) \\ f(-x) & (0<x<2)\end{cases}$ 를 만족한다. 그리고 함수 $\displaystyle h(x)=g(x-1)|g(x)-g(x-1)|$ 로 정의한다.예를 들어, $\displaystyle f(x)=-x-\frac{1}{2}$ 일 때, $\displaystyle g\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}$ 과 $\displaystyle g\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle h\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}$ 이다.

[문제 2-ⅰ] 〈제시문 3〉에서 $\displaystyle f(x)=x+1$ 일 때, $\displaystyle 2\le x\le2026$ 인 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅱ] 〈제시문 3〉에서 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}$ 일 때, 정적분 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅲ] 〈제시문 3〉에서 $\displaystyle f(x)=ax+b$ (단, $\displaystyle a,\,b$ 는 $\displaystyle 1\le a<b\le10$ 을 만족하는 자연수)이고, 정적분 $\displaystyle \int_{2023}^{2025}h(x)dx$ 의 값이 $\displaystyle 0$ 보다 작다고 한다. 이때 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,\,b)$ 를 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

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[문제 2-ⅰ]

+10점 · 평행이동과 대칭이동을 통해 얻어진 함수의 그래프의 개형과 그릴 수 있고, 미분과 적분의 관계를 통해 함수의 증가, 감소를 판단할 수 있다.

$\displaystyle g(x+4)=g(x)$ 이므로 $\displaystyle h(x+4)=h(x)$ 이다.또한, $\displaystyle \left|g(x)-g(x-1)\right|=\begin{cases}|1-2x| & (0\le x\le1) \\ 1 & (1<x<2)\end{cases}$ 이므로, $\displaystyle h(x)=\begin{cases}x|1-2x| & (0\le x\le1) \\ 2-x & (1\le x\le2)\end{cases}$ 이다.마찬가지로, $\displaystyle h(x)=\begin{cases}(2-x)|5-2x| & (2\le x\le3) \\ x-4 & (3\le x\le4)\end{cases}$ 이다.이제 $\displaystyle H(x)=\int_{1}^{x}h(t)dt$ 라고 하면 $\displaystyle H^{\prime}(x)=h(x)$ 이므로, 함수 $\displaystyle H(x)$ 는 다음 표와 같은 증감표를 가진다. $\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & \cdots & 2 & \cdots & 3 & \cdots & 4 & \cdots & 5 \\ \hline H^{\prime}(x)=h(x) & 1 & + & 0 & - & -1 & - & 0 & + & 1 \\ \hline H(x) & & \nearrow & & \searrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$ 또한 $\displaystyle \alpha=\int_{4}^{5}h(t)dt=\int_{0}^{1}h(t)dt=\int_{0}^{1}t|1-2t|dt=\frac{1}{4}$ 이고 $\displaystyle \beta=\int_{1}^{2}h(t)dt=\frac{1}{2}$ 이다.그리고 $\displaystyle \int_{2}^{3}h(t)dt=-\alpha=-\frac{1}{4}$ 이고 $\displaystyle \int_{3}^{4}h(t)dt=-\beta=-\frac{1}{2}$ 이다. 이로부터 $\displaystyle H(1)=0,\ H(2)=\frac{1}{2},\ H(3)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4},\ H(4)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4},\ H(5)=0$ 을 얻게 된다. 따라서, $\displaystyle \int_{1}^{5}h(t)dt=0$ 이고 모든 정수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle \int_{1}^{4k+1}h(t)dt=0$ 이다.위의 증감표와 사잇값 정리로부터 닫힌구간 $\displaystyle [3,4]$ 에서 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$ 를 만족하는 유일한 $\displaystyle x$ 가 존재한다.따라서, 모든 정수 $\displaystyle k$ 에 대해 구간 $\displaystyle (4k-3,4k+1]$ 위에 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$ 를 만족하는 $\displaystyle x$ 가 정확히 두 개 존재한다.이로부터 닫힌구간 $\displaystyle [2,\,2026]$ 에서 $\displaystyle \int_{1}^{x}h(t)dt=0$ 를 만족하는 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle 506\times2=1012$ 개 존재한다.

[문제 2-ⅱ]

+10점 · 평행이동과 대칭이동을 통해 얻어진 함수의 정적분 값을 구할 수 있다.

$\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}$ 일 때, $\displaystyle g(x+2)=g(x)$ 이고 $\displaystyle h(x+2)=h(x)$ 이다.그리고 $\displaystyle \left|g(x)-g(x-1)\right|=\begin{cases}|1-2x| & (0\le x\le1) \\ |3-2x| & (1<x<2)\end{cases}$ 이므로 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}x^{2}|1-2x| & (0\le x\le1) \\ (x-2)^{2}|3-2x| & (1\le x\le2)\end{cases}$ 이다.구하고자 정적분은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx &=\int_{0}^{2}h(x)dx+\int_{2}^{4}h(x)dx+\cdots+\int_{1010}^{1012}h(x)dx+\int_{1012}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx \\ &=506\left(\int_{0}^{1}h(x)dx+\int_{1}^{2}h(x)dx\right)+\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)dx \end{aligned}$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)dx=\int_{\frac{3}{2}}^{2}h(x)dx=\frac{1}{96}$ 과 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1}h(x)dx=\int_{1}^{\frac{3}{2}}h(x)dx=\frac{17}{96}$ 이므로, $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2025}{2}}h(x)dx=506\left(\frac{1}{96}+\frac{17}{96}+\frac{17}{96}+\frac{1}{96}\right)+\frac{1}{96}=\frac{18217}{96}$ 이다.

[문제 2-ⅲ]

+10점 · 평행이동과 대칭이동을 통해 얻어진 함수의 정적분 값을 구할 수 있다.

$\displaystyle g(x+4)=g(x)$ 이므로 $\displaystyle h(x+4)=h(x)$ 를 얻게 되어 $\displaystyle \int_{2023}^{2025}h(x)dx=\int_{-1}^{1}h(x)dx$ 이다. $\displaystyle \left|g(x)-g(x-1)\right|=\begin{cases}a & (-1\le x\le0) \\ a|1-2x| & (0<x<1)\end{cases}$ 이므로 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}a(ax+(b-a)) & (-1\le x\le0) \\ a|1-2x|(ax+(b-a)) & (0\le x\le1)\end{cases}$ 이다. $\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1}h(x)dx &=\int_{-1}^{0}h(x)dx+\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}h(x)dx \\ &=a\left[\left(b-\frac{3}{2}a\right)+\left(-\frac{5}{24}a+\frac{1}{4}b\right)+\left(-\frac{1}{24}a+\frac{1}{4}b\right)\right] \\ &=a\left(-\frac{7}{4}a+\frac{3}{2}b\right)<0 \end{aligned}$ 으로부터 $\displaystyle a<b<\frac{7}{6}a$ 를 얻게 된다. 이를 만족하는 순서쌍은 $\displaystyle (7,8),\ (8,9),\ (9,10)$ 이다.

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수리형 2교시 2번

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