수리형 2교시 1번

$\displaystyle f(x)=-x^{3}+1$이므로, 어떤 $\displaystyle t\,(0\le t\le1)$에 대하여 〈제시문2〉의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 각각 $\displaystyle \mathrm{P}(0,\,t)$ 그리고 $\displaystyle \mathrm{Q}(1,\,f(t))$이다. 따라서, 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{44}{81}\right)$가 어떤 $\displaystyle t$에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 위에 놓이는지 찾으려면, 다음 방정식을 만족하는 어떤 $\displaystyle t\,(0\le t\le1)$가 존재하는지 찾아야 한다.$\displaystyle \frac{44}{81}=(-t^{3}+1-t)\frac{1}{3}+t\Leftrightarrow27t^{3}-54t+17=(3t-1)(9t^{2}+3t-17)=0$$\displaystyle 9t^{2}+3t-17=0$의 근은 $\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{69}}{6}$이므로 $\displaystyle 0\le t\le1$의 범위 안에 들어가지 않는다.따라서 정답은 $\displaystyle t=\frac{1}{3}$.

$\displaystyle f(x)=-x^{4}+1$이므로, 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{5},\,b\right)$가 어떤 $\displaystyle t$에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 위에 놓이려면, 방정식$\displaystyle b=(-t^{4}+1-t)\frac{1}{5}+t\Leftrightarrow5b=-t^{4}+4t+1$을 만족하는 근이 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이에 있어야만 한다.함수 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle g(x)=-x^{4}+4x+1$이라 정의할 때, 어떤 $\displaystyle t\,(0\le t\le1)$가 $\displaystyle g(t)=5b$를 만족시키는지 찾아야 한다. $\displaystyle g^{\prime}(x)=-4x^{3}+4=-4(x-1)(x^{2}+x+1)$ 이므로 $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,\,1]$위에서 증가함수이다. 또한, $\displaystyle g(0)=1$, $\displaystyle g(1)=4$이므로 $\displaystyle 1\le5b\le4\Leftrightarrow\frac{1}{5}\le b\le\frac{4}{5}$ 일 때 항상 $\displaystyle g(t)=5b$를 만족시키는 어떤 $\displaystyle t\,(0\le t\le1)$가 존재하게 된다. 따라서 정답은 $\displaystyle \frac{1}{5}\le b\le\frac{4}{5}$.

$\displaystyle (a,\,b)$가 한 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$위에 있기 위한 필요충분조건은 어떤 $\displaystyle t\,(0\le t\le1)$에서 다음 방정식이 성립하는 것이다.$\displaystyle b=(f(t)-t)a+t=\begin{cases}(1-a)t+a & \left(0\le t\le\frac{1}{2}\right) \\ (1-3a)t+2a & \left(\frac{1}{2}\le t\le1\right)\end{cases}$이때 $\displaystyle a\le\frac{1}{3}$인 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle (f(t)-t)a+t$가 항상 $\displaystyle t$에 대하여 감소하지 않는 함수이므로, $\displaystyle (a,\,b)$가 한 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$위에 있기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle a=f(0)\le b\le f(1)=1-a$이다. $\displaystyle p$가 $\displaystyle 3$이상일 때 $\displaystyle \frac{1}{p}\le\frac{1}{3}$을 만족하므로, $\displaystyle (p,\,q)$가 어떤 선분 위의 점이려면 $\displaystyle \frac{1}{p}\le\frac{1}{q}\le1-\frac{1}{p}\Leftrightarrow\frac{p}{p-1}\le q\le p$를 만족해야 한다. 이를 이용하여 $\displaystyle q$를 찾으면 다음과 같다.Correction. 선분 위에 놓이는 점은 $\displaystyle (p,q)$가 아니라 $\displaystyle (1/p,1/q)$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 여기서 양 끝값 $\displaystyle a$와 $\displaystyle 1-a$는 $\displaystyle f(t)$의 값이 아니라 $\displaystyle (f(t)-t)a+t$의 $\displaystyle t=0$, $\displaystyle t=1$에서의 값이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle p=3$일 때, 서로 다른 $\displaystyle q$는 존재하지 않는다.$\displaystyle p=4$일 때, $\displaystyle q=3$$\displaystyle p=5$일 때, $\displaystyle q=3,4$$\displaystyle p=6$일 때, $\displaystyle q=3,4,5$따라서 정답은 6개이다.