자연계열 I 1번

(1) 점 A의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치를 $\displaystyle A(t)$, 점 B의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치를 $\displaystyle B(t)$라고 하면$\displaystyle A(t)=\int_0^t(6x-2)dx=3t^2-2t,\quad B(t)=A(t^2)=3t^4-2t^2$이다. 이 때 $\displaystyle d(t)=B(t)-A(t)$로 놓으면$\displaystyle d(t)=B(t)-A(t)=3t^4-2t^2-(3t^2-2t)=3t^4-5t^2+2t=t(t-1)(3t^2+3t-2)$이고, 점 A와 점 B가 $\displaystyle t=0$ 이후 다시 만나는 시각은 방정식 $\displaystyle d(t)=0$의 양수 해이다. 이 양수 해는 $\displaystyle t=\frac{-3+\sqrt{33}}6$, $\displaystyle t=1$이다.

(2) $\displaystyle \frac{-3+\sqrt{33}}6<1$이므로 두 점은 $\displaystyle t=1$에서 마지막으로 만난다.$\displaystyle 0<t<1$의 범위에서 두 점 사이의 거리 $\displaystyle |d(t)|$가 최대가 되기 위해서는 $\displaystyle d(t)$가 최대 또는 최소여야 한다. 함수 $\displaystyle d(t)$의 도함수는$\displaystyle d^{\prime}(t)=12t^3-10t+2=2(t+1)(6t^2-6t+1)$이므로 $\displaystyle d(t)$는 $\displaystyle t_1=\frac{3-\sqrt3}6$과 $\displaystyle t_2=\frac{3+\sqrt3}6$에서 극값을 갖고 $\displaystyle 0<t_1<t_2<1$이다.$\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$가 $\displaystyle 6t^2-6t+1=0$의 해이므로 $\displaystyle t_i^2=t_i-\frac16$, $\displaystyle t_i^2-t_i=-\frac16$ (단, $\displaystyle i=1,2$)을 이용하여 $\displaystyle d(t_1)$과 $\displaystyle d(t_2)$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle d(t_1)=(t_1^2-t_1)(3t_1^2+3t_1-2)=-\frac16\left(6t_1-\frac52\right)=-t_1+\frac5{12}=\frac{-1+2\sqrt3}{12}$$\displaystyle d(t_2)=-\frac16\left(6t_2-\frac52\right)=-t_2+\frac5{12}=\frac{-1-2\sqrt3}{12}$$\displaystyle |d(t_2)|>|d(t_1)|$이므로 $\displaystyle 0<t<1$에서 두 점 사이의 거리는 시각 $\displaystyle t_2=\frac{3+\sqrt3}6$에서 최대가 되고 이 때의 거리는 $\displaystyle |d(t_2)|=\frac{1+2\sqrt3}{12}$이다.