자연계열 I 4번

$\displaystyle \angle PRO$의 크기를 $\displaystyle \theta(t)$라고 하자. 삼각형 $\displaystyle PRO$는 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \angle OPR=90^\circ$인 직각삼각형이므로, 삼각형의 변의 길이와 삼각비의 정의에 의해 다음 관계가 성립한다.$\displaystyle \sin\theta(t)=\frac1t,\quad\cos\theta(t)=\frac{\sqrt{t^2-1}}t$ ………………………①부채꼴 $\displaystyle PRQ$의 넓이 $\displaystyle A(t)$는$\displaystyle A(t)=\frac12(\sqrt{t^2-1})^2\cdot2\theta(t)=(t^2-1)\cdot\theta(t)$이므로 넓이의 $\displaystyle t$에 대한 변화율은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{dA}{dt}=2t\cdot\theta(t)+(t^2-1)\cdot\frac{d\theta}{dt}$ ………………………②또한 부등식 $\displaystyle \sin\theta<\theta<\tan\theta$ ($\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$)와 ①로부터$\displaystyle \frac1t<\theta(t)<\frac1{\sqrt{t^2-1}}$이고 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1t=\lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{t^2-1}}=0$이므로 함수의 극한의 성질에 의해 $\displaystyle t\to\infty$이면 $\displaystyle \theta\to0$이다.먼저 ②의 우변 첫째 항의 극한값은 ①에 의해 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \lim_{t\to\infty}2t\cdot\theta(t)=\lim_{t\to\infty}\left(\frac2{\sin\theta(t)}\cdot\theta(t)\right)=2\cdot\lim_{\theta\to0}\left(\frac\theta{\sin\theta}\right)=2$ ……………③$\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$를 구하기 위해 ①의 첫 번째 식의 양변을 미분하고 두 번째 식을 대입하면 다음과 같다.$\displaystyle -\frac1{t^2}=\frac d{dt}\sin\theta(t)=\cos\theta(t)\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{t^2-1}}t\cdot\frac{d\theta}{dt}$이로부터$\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=-\frac1{t\sqrt{t^2-1}}$을 얻는다. 따라서 ②의 우변 둘째 항의 극한값을 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \lim_{t\to\infty}(t^2-1)\cdot\frac{d\theta}{dt}=\lim_{t\to\infty}\left(-(t^2-1)\cdot\frac1{t\sqrt{t^2-1}}\right)=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\sqrt{t^2-1}}t\right)=-1$ …………④위에서 계산한 ③과 ④로부터 넓이 $\displaystyle A(t)$의 변화율의 극한값은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{dA}{dt}=\lim_{t\to\infty}\left(2t\cdot\theta(t)+(t^2-1)\cdot\frac{d\theta}{dt}\right)=2-1=1$