자연계열 I 3번

(1) A가 승리하기 위해서는 3번째 또는 5번째 뽑은 구슬이 두 번째 흰 구슬이어야 한다. 각각의 경우를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

(i)의 확률은 $\displaystyle 2\times\frac{3\cdot2\cdot1}{5\cdot4\cdot3}=\frac15=0.2$이고, (ii)의 확률은 $\displaystyle 4\times\frac{3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac25=0.4$이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac35=0.6$이다.

(2) (1)에 의해 B가 승리할 확률은 $\displaystyle \frac25$이다. 이때 B가 꺼낸 구슬의 총 개수는 1개 또는 2개이다. 1개만 꺼내고 승리할 확률이 $\displaystyle \frac25\cdot\frac14=\frac1{10}$이므로 2개를 꺼내고 승리할 확률은 $\displaystyle \frac4{10}-\frac1{10}=\frac3{10}$이다. 따라서 B가 승리했을 때, B가 꺼낸 구슬의 총 개수가 2개일 확률은 $\displaystyle \frac{3/10}{4/10}=\frac34=0.75$이다.

(3) A가 승리하는 경우를 A가 첫 번째 꺼낸 구슬을 기준으로 나누어 보면 다음과 같다.(i) 첫 번째 꺼낸 구슬이 흰 구슬일 경우:

이 때 확률은 $\displaystyle \left(\frac25\right)\left(\frac14\right)+\left(\frac25\right)\left(\frac34\right)\left(\frac23\right)\left(\frac12\right)=\frac15=0.2$이다.

(ii) 첫 번째 꺼낸 구슬이 검은 구슬인 경우:

이 때 확률은 $\displaystyle \left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac23\right)\left(\frac12\right)+\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac23\right)\left(\frac12\right)=\frac15=0.2$이다.따라서 A가 승리할 확률은 $\displaystyle \frac25=0.4$이다.