숭실대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 해설

다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. (30점)

(가) 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 서로 배반사건이면 $\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(B)$ [출처 : 확률과 통계 「확률의 뜻과 활용」](나) 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 동시에 일어날 확률은 $\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B\mid A)=\mathrm P(B)\mathrm P(A\mid B)$ (단, $\displaystyle \mathrm P(A)>0$ , $\displaystyle \mathrm P(B)>0$ )[출처 : 확률과 통계 「조건부확률」]

흰 구슬 2개와 검은 구슬 3개가 들어 있는 주머니가 있다. A부터 시작하여 A와 B가 흰 구슬이 모두 나올 때까지 번갈아가며 구슬을 1개씩 임의로 꺼낸다. 두 번째 흰 구슬을 꺼낸 사람이 승리한다고 할 때, 다음 문항에 답하시오. (단, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

(1) A가 승리할 확률을 구하시오.

(2) B가 승리했을 때, B가 꺼낸 구슬이 총 2개일 확률을 구하시오.

(3) 흰 구슬을 꺼낸 사람은 연이어 1개 더 구슬을 꺼내는 규칙을 추가했을 때, A가 승리할 확률을 구하시오.

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+9점 · A가 승리하기 위한 경우를 명확하게 제시하고 각 경우에 대한 확률을 곱셈정리를 이용하여 올바르게 계산한다.

(1) A가 승리하기 위해서는 3번째 또는 5번째 뽑은 구슬이 두 번째 흰 구슬이어야 한다. 각각의 경우를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

(i)의 확률은 $\displaystyle 2\times\frac{3\cdot2\cdot1}{5\cdot4\cdot3}=\frac15=0.2$ 이고, (ii)의 확률은 $\displaystyle 4\times\frac{3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac25=0.4$ 이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac35=0.6$ 이다.

+9점 · B가 승리하기 위한 경우를 명확하게 제시하고 각 경우에 대한 확률을 정확하게 계산하여 주어진 조건부확률을 올바르게 계산한다.

(2) (1)에 의해 B가 승리할 확률은 $\displaystyle \frac25$ 이다. 이때 B가 꺼낸 구슬의 총 개수는 1개 또는 2개이다. 1개만 꺼내고 승리할 확률이 $\displaystyle \frac25\cdot\frac14=\frac1{10}$ 이므로 2개를 꺼내고 승리할 확률은 $\displaystyle \frac4{10}-\frac1{10}=\frac3{10}$ 이다. 따라서 B가 승리했을 때, B가 꺼낸 구슬의 총 개수가 2개일 확률은 $\displaystyle \frac{3/10}{4/10}=\frac34=0.75$ 이다.

+12점 · 추가조건을 정확하게 이해하여 A가 승리하기 위한 경우를 명확하게 제시하고 각 경우에 대한 확률을 곱셈정리를 이용하여 올바르게 계산한다.

(3) A가 승리하는 경우를 A가 첫 번째 꺼낸 구슬을 기준으로 나누어 보면 다음과 같다.(i) 첫 번째 꺼낸 구슬이 흰 구슬일 경우:

이 때 확률은 $\displaystyle \left(\frac25\right)\left(\frac14\right)+\left(\frac25\right)\left(\frac34\right)\left(\frac23\right)\left(\frac12\right)=\frac15=0.2$ 이다.

(ii) 첫 번째 꺼낸 구슬이 검은 구슬인 경우:

이 때 확률은 $\displaystyle \left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac23\right)\left(\frac12\right)+\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac23\right)\left(\frac12\right)=\frac15=0.2$ 이다.따라서 A가 승리할 확률은 $\displaystyle \frac25=0.4$ 이다.

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자연계열 I 3번

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