자연계열 II 1번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$는 주기가 1인 주기함수이고 $\displaystyle 0\le x<\frac12$일 때 $\displaystyle 2x+(a-1)$, $\displaystyle \frac12\le x\le1$일 때 $\displaystyle -2x+(a+1)$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

또한 $\displaystyle f(0)=f(1)=a-1$이므로 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체에서 연속이다.함수 $\displaystyle g(x)$의 $\displaystyle x=k$에서의 함숫값은 $\displaystyle g(k)=\frac{f(k)}{(k+1)(k+2)}=\frac{a-1}{(k+1)(k+2)}$이다.$\displaystyle x=k$에서의 좌극한은 함수의 극한의 성질과 $\displaystyle f(x)$의 연속성 ($\displaystyle \lim_{x\to k}f(x)=f(k)$)을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \lim_{x\to k^-}\frac{f(x)}{[x+1][x+2]}=\frac{\lim_{x\to k^-}f(x)}{\lim_{x\to k^-}[x+1][x+2]}=\frac{f(k)}{k(k+1)}=\frac{a-1}{k(k+1)}$비슷한 방법으로 $\displaystyle x=k$에서의 우극한을 다음과 같이 구한다.$\displaystyle \lim_{x\to k^+}\frac{f(x)}{[x+1][x+2]}=\frac{\lim_{x\to k^+}f(x)}{\lim_{x\to k^+}[x+1][x+2]}=\frac{f(k)}{(k+1)(k+2)}=\frac{a-1}{(k+1)(k+2)}$함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=k$에서 연속이기 위해서는 함숫값과 좌극한 및 우극한이 모두 같아야 하므로 다음 식을 만족해야 한다.$\displaystyle \frac{a-1}{k(k+1)}=\frac{a-1}{(k+1)(k+2)}$따라서 $\displaystyle a=1$이다.

(2) 문항 (1)에서 구한 $\displaystyle a=1$을 대입하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 0\le x<\frac12$일 때 $\displaystyle 2x$, $\displaystyle \frac12\le x\le1$일 때 $\displaystyle -2x+2$이다. 이때 정적분의 성질에 의하여 구하고자 하는 식은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^ng(x)|\sin\pi x|dx\\&=\int_0^1\frac{f(x)}{1\cdot2}|\sin\pi x|dx+\int_1^2\frac{f(x)}{2\cdot3}|\sin\pi x|dx+\cdots+\int_{n-1}^n\frac{f(x)}{n(n+1)}|\sin\pi x|dx\\&=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}\int_{k-1}^kf(x)|\sin\pi x|dx\end{aligned}$정적분 $\displaystyle \int_{k-1}^kf(x)|\sin\pi x|dx$를 구하기 위해 $\displaystyle t=x-(k-1)$로 놓고 치환적분법과 함수 $\displaystyle f(x)$의 주기성을 이용하면 다음 등식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{k-1}^kf(x)|\sin\pi x|dx&=\int_0^1f(t+k-1)|(-1)^{k-1}\sin\pi t|dt\\&=\int_0^1f(t)\sin\pi t\,dt\\&=\int_0^{\frac12}2t\sin\pi t\,dt+\int_{\frac12}^1(2-2t)\sin\pi t\,dt\end{aligned}$위 식의 두 번째 적분에서 $\displaystyle u=1-t$로 치환하면$\displaystyle \int_{\frac12}^1(2-2t)\sin\pi t\,dt=\int_0^{\frac12}2u\sin\pi u\,du$이므로$\displaystyle \int_{k-1}^kf(x)|\sin\pi x|dx=\int_0^{\frac12}4t\sin\pi t\,dt$이다. 부분적분법을 이용하여 $\displaystyle \int_0^{\frac12}4t\sin\pi t\,dt$를 구하면$\displaystyle \int_0^{\frac12}4t\sin\pi t\,dt=\Biggl[-4t\cdot\frac1\pi\cos\pi t\Biggr]_0^{\frac12}+\int_0^{\frac12}4\cdot\frac1\pi\cos\pi t\,dt=\Biggl[\frac4{\pi^2}\sin\pi t\Biggr]_0^{\frac12}=\frac4{\pi^2}$따라서 $\displaystyle \int_0^ng(x)|\sin\pi x|dx$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^ng(x)|\sin\pi x|dx&=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}\int_{k-1}^kf(x)|\sin\pi x|dx\\&=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}\cdot\frac4{\pi^2}\\&=\frac4{\pi^2}\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\&=\frac4{\pi^2}\cdot\frac n{n+1}\end{aligned}$