자연계열 I 2번

조건 (ii)에 의해 $\displaystyle f(0)=0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$와 역함수 $\displaystyle g(x)$는 관계식$\displaystyle \int_0^1f(x)dx+\int_0^{f(1)}g(x)dx=1\times f(1)$을 만족한다.

조건 (iii)에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f(1)+af(1)=(a+1)f(1)=3$이므로 $\displaystyle f(1)=\frac3{a+1}$이다.조건 (iii), (iv)와 치환적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}3&=\int_0^13dx=\int_0^1(f(1+x)+af(1-x))dx\\&=\int_1^2f(x)dx+a\int_0^1f(x)dx\\&=2-\int_0^1f(x)dx+a\int_0^1f(x)dx\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=\frac1{a-1}$이다.따라서 정적분 $\displaystyle \int_0^{f(1)}g(x)dx$는 실수 $\displaystyle a$에 대한 함수 $\displaystyle h(a)$로 다음과 같이 쓸 수 있다.$\displaystyle h(a)=\int_0^{f(1)}g(x)dx=f(1)-\int_0^1f(x)dx=\frac3{a+1}-\frac1{a-1}=\frac{2a-4}{a^2-1}$ (단, $\displaystyle a>2$)도함수 $\displaystyle h^{\prime}(a)=\frac{2(a^2-1)-2a(2a-4)}{(a^2-1)^2}=\frac{-2a^2+8a-2}{(a^2-1)^2}$는 $\displaystyle a=2\pm\sqrt3$에서 0이므로 $\displaystyle h(a)$의 증가와 감소를 다음과 같은 표로 나타낼 수 있다.

그러므로 함수 $\displaystyle h(a)$는 구간 $\displaystyle (2,\infty)$에서 $\displaystyle a=2+\sqrt3$일 때 최댓값 $\displaystyle 2-\sqrt3$을 갖는다.