자연계열 II 2번

(1) 점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle (t,t^3+at)$라고 하자. 점 $\displaystyle P$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle (3t^2+a)$이므로 구하는 접선 $\displaystyle \ell$의 방정식은$\displaystyle y=(3t^2+a)(x-t)+(t^3+at)=(3t^2+a)x-2t^3$이다. 직선 $\displaystyle \ell$과 곡선 $\displaystyle C$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 다음 방정식을 만족한다.$\displaystyle (3t^2+a)x-2t^3=x^3+ax\ \Leftrightarrow\ (x-t)^2(x+2t)=0$따라서 점 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -2t$이고 선분 $\displaystyle PQ$의 중점 $\displaystyle R$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle b=-\frac t2$이다. 그러므로 점 $\displaystyle P$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -2b$, 점 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 4b$이다.

(2) $\displaystyle b>0$이면 접선 $\displaystyle \ell$은 곡선 $\displaystyle C$와 그림과 같이 접한다.

접선 $\displaystyle \ell$의 방정식은$\displaystyle y=(12b^2+a)x+16b^3$이므로 두 도형의 넓이 $\displaystyle K,L$은 다음과 같다.$\displaystyle K=\int_{-2b}^b(-x^3+12b^2x+16b^3)dx=\Biggl[-\frac{x^4}4+6b^2x^2+16b^3x\Biggr]_{-2b}^b=\frac{135}4b^4$$\displaystyle L=\int_b^{4b}(-x^3+12b^2x+16b^3)dx=\Biggl[-\frac{x^4}4+6b^2x^2+16b^3x\Biggr]_b^{4b}=\frac{297}4b^4$따라서 구하는 극한값은 $\displaystyle \lim_{b\to\infty}\frac KL=\frac{135}{297}=\frac5{11}$이다.