자연계열 II 3번

(1) $\displaystyle X=5$이기 위해서는 다섯 번째 나오는 구슬이 흰 구슬이어야 한다. 각각의 경우를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

따라서 구하는 확률은$\displaystyle \mathrm P(X=5)=4\times\frac{3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac25=0.4$이다.

(2) $\displaystyle X$의 확률분포를 구하면 다음과 같다.

따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm E(X)=2\cdot\frac1{10}+3\cdot\frac2{10}+4\cdot\frac3{10}+5\cdot\frac4{10}=4$

(3) 확률변수 $\displaystyle Y$는 2부터 $\displaystyle n+2$까지의 값을 갖는다. 확률변수 $\displaystyle Y$의 값이 $\displaystyle y$이기 위해서는 두 번째 흰 구슬이 $\displaystyle y$번째에 나와야 한다. 첫 번째 흰 구슬이 $\displaystyle i$번째 ($\displaystyle i=1,2,\cdots,y-1$)에 나오고 두 번째 흰 구슬이 $\displaystyle y$번째에 나올 확률은 모든 $\displaystyle i$에 대해 동일하게$\displaystyle \frac{2\cdot1\times n(n-1)\cdots(n-(y-3))}{(n+2)(n+1)\cdots(n+2-(y-1))}=\frac2{(n+1)(n+2)}$이므로$\displaystyle \mathrm P(Y=y)=\frac{2(y-1)}{(n+1)(n+2)}\quad(y=2,3,\cdots,n+2)$이다.따라서 확률변수 $\displaystyle Y$의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(Y)&=\sum_{y=2}^{n+2}y\cdot\frac{2(y-1)}{(n+1)(n+2)}=\frac2{(n+1)(n+2)}\sum_{y=1}^{n+1}y(y+1)\\&=\frac2{(n+1)(n+2)}\left(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6+\frac{(n+1)(n+2)}2\right)\\&=\frac23n+2\end{aligned}$