자연계열 II 4번

(1)(i) $\displaystyle S$의 내부에 포함된다.(ii) 가로는 $\displaystyle x$축과 평행하고 세로는 $\displaystyle y$축과 평행하다.(iii) 곡선 $\displaystyle C$ 위의 점 $\displaystyle (a,-a^2+6)$에 오른쪽 위 꼭짓점을 두고 있다.위 조건을 모두 만족하는 직사각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 아래 그림과 같이 직사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점이 직선 $\displaystyle \ell:2x+y=6$ 위에 놓여야 한다. 또한 곡선 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle \ell$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=0,2$이므로, $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 0<a<2$이다.

왼쪽 아래 꼭짓점이 $\displaystyle (x,-2x+6)$이고 오른쪽 위 꼭짓점이 $\displaystyle (a,-a^2+6)$인 직사각형의 넓이를 $\displaystyle f(x)$라고 하자. 왼쪽 아래 꼭짓점의 $\displaystyle x,y$좌표는 오른쪽 위 꼭짓점의 $\displaystyle x,y$좌표보다 작아야 하므로 $\displaystyle \frac12a^2<x<a$를 만족해야 한다. 이 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 $\displaystyle a-x$와 $\displaystyle -a^2+6-(-2x+6)=-a^2+2x$이므로 직사각형의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=(a-x)(-a^2+2x)=-2x^2+(a^2+2a)x-a^3=-2\left(x-\frac{a^2+2a}4\right)^2+\frac{a^4-4a^3+4a^2}8$$\displaystyle 0<a<2$에서 $\displaystyle \frac12a^2<\frac{a^2+2a}4<a$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac{a^2+2a}4$일 때 최대가 되고 이때의 최댓값이 직사각형 $\displaystyle T$의 넓이$\displaystyle M=\frac18a^4-\frac12a^3+\frac12a^2$이다.

(2) $\displaystyle M=M(a)=\frac18a^4-\frac12a^3+\frac12a^2$의 $\displaystyle a$에 대한 도함수$\displaystyle M^{\prime}(a)=\frac12a^3-\frac32a^2+a=\frac12a(a-1)(a-2)$는 $\displaystyle 0<a<2$일 때 $\displaystyle a=1$에서 0이므로 $\displaystyle M$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle M(1)=\frac18$로 최대가 된다.