경상계열 2번

숭실대 2022학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2022su/gyeongsang_2

제시문 [가], [나], [다]를 읽고 각 문항에 답하시오. (50점)

[가] 자원 희소성 때문에 자원의 사용에는 반드시 대가가 발생하므로 의사결정자는 수익과 비용을 모두 고려하여 합리적 선택을 해야 한다. 현금 자원의 사용 대가를 이자라고 하며, 돈(원금)을 빌리는 사람은 빌린 금액에 이자를 더한 금액을 갚아야 한다. 이자는 이자율에 따라 결정되므로 연이자율(1년 이자율)이 $\displaystyle r$ 이고 빌린 돈(원금)이 $\displaystyle a$ 인 경우, 1년 후 지급해야 하는 이자는 $\displaystyle a\times r$ 이고, 원금과 함께 지급해야 하는 총금액은 $\displaystyle a(1+r)$ 이다. 그리고 복리계산법을 적용한다면 $\displaystyle n$ 년 후에 갚아야 할 총금액은 $\displaystyle a_n=a(1+r)^n$ 이다.

[나] 확률은 사건이 일어날 가능성을 수치화한 것으로 의사결정을 위한 중요한 도구로 활용된다. 미래에 어떤 일이 일어날 가능성을 수치로 계산할 수 있기 때문에 불확실한 상황에서 문제 해결을 위한 합리적 판단에 도움을 줄 수 있다. 한편, 조건부확률은 어떤 사건이 먼저 일어난 후, 다른 사건이 일어날 확률이다. 두 사건이 서로 독립이 아닌 경우에는 조건부확률을 이용하면 어떤 사건이 일어났을 때 다른 사건이 일어날 가능성을 보다 정확하게 예측할 수 있다.

[다] 청년 김씨는 피자가게 창업 또는 택배사업 창업을 놓고 고민 중이다. 피자가게를 창업할 경우, 피자를 굽는 기계를 구입해야 하며 이를 위해 은행에서 연이자율 10%(복리조건)로 돈을 빌려야만 한다. 이자와 원금은 2년 후에 한꺼번에 갚아야 하며 그 금액은 6,050,000원이다. 피자의 개당 판매가격은 15,000원이고, 피자 한 개를 판매할 때마다 재료비 등으로 10,000원의 비용이 발생한다. 그리고 빌린 돈에 대한 연이자는 판매량과 관련이 없는 고정비용이다. 한편, 택배사업을 창업할 경우, 택배 한 건당 배송료 2,000원을 받을 수 있으며, 배송을 위해 필요한 트럭은 1년에 1,000,000원을 지급하는 조건으로 빌려 쓸 수 있다. (두 사례 모두 다른 추가비용은 없는 것으로 가정한다)

[문항 1] 제시문 [가], [다]를 읽고 답하시오. 청년 김씨가 피자가게를 창업한다면 구입해야 하는 기계의 가격은 얼마인지 제시하고, 첫 해에 5,000,000원의 이익(수입-비용)을 얻기 위해서 판매해야 하는 피자의 수량도 제시하시오.

[문항 2] 제시문 [나]를 읽고 답하시오. 청년 김씨가 피자가게 또는 택배사업을 창업할 확률은 각각 50%이다. 그리고 창업컨설팅 업체에 따르면 청년 사업가가 피자가게 창업에서 성공할 확률은 10%, 택배사업에서 성공할 확률은 30%라고 한다. 만약 청년 김씨가 사업에서 성공한다면, 피자가게 창업을 통해 성공할 확률과 택배사업 창업을 통해 성공할 확률은 얼마인지 각각 제시하시오.

[문항 3] 제시문 [가], [나], [다]를 읽고 답하시오. 청년 김씨는 합리적 의사결정을 위해 창업컨설팅 업체로부터 다음 <표 1>, <표 2>와 같은 경제 상황별 피자 판매량과 택배 건수에 대한 조건부확률을 구했다.

<표 1>

피자 판매량 / 상황	불황	보통	호황
1,000개	50%	20%	20%
2,000개	30%	50%	30%
3,000개	20%	30%	50%

<표 2>

택배 건수 / 상황	불황	보통	호황
3,000건	20%	20%	50%
4,000건	30%	50%	30%
5,000건	50%	30%	20%

경제가 불황일 확률은 30%, 보통일 확률은 50%, 호황일 확률은 20%일 때, <표 1>, <표 2>에 제시된 조건부확률을 이용하여 사업 첫 해에 기대되는 이익을 각 사업별로 구분하여 제시하시오.

해설강의 준비중

숭실대 2022학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2022su/gyeongsang_2

· 기계를 구입하기 위해 은행에서 돈을 빌리는 것이므로 원금의 금액이 기계 구입가격임.

[문항 1](1) 원금의 금액은 $\displaystyle a=\frac{a_n}{(1+r)^n}$ 을 이용하여 계산할 수 있으며, 이 금액이 기계 구입가격임. $\displaystyle 6{,}050{,}000\div(1.1)^2=6{,}050{,}000\div1.21=5{,}000{,}000$ 원

· 피자가게의 목표한 이익은 5,000,000원이며, 이때의 비용-편익 함수식

(2) 피자가게 이익 = [개당 판매가격 - 개당 변동비용]*Q(판매수량) - 고정비용 $\displaystyle =[15{,}000-10{,}000]*Q-5{,}000{,}000*10\%=5{,}000{,}000$ $\displaystyle \therefore Q=1{,}100$ 개

· 피자가게 창업을 통해 성공할 확률

[문항 2](1) 피자가게 창업을 통해 성공할 확률: $\displaystyle \begin{aligned}P(\text{피자가게}\mid\text{성공})&=\frac{P(\text{피자가게}\cap\text{성공})}{P(\text{성공})}=\frac{0.5\times0.1}{0.5\times0.1+0.5\times0.3}\\&=\frac{0.05}{0.05+0.15}=\frac5{20}=25\%\end{aligned}$

· 택배사업 창업을 통해 성공할 확률

(2) 택배사업 창업을 통해 성공할 확률: $\displaystyle \begin{aligned}P(\text{택배사업}\mid\text{성공})&=\frac{P(\text{택배사업}\cap\text{성공})}{P(\text{성공})}=\frac{0.5\times0.3}{0.5\times0.1+0.5\times0.3}\\&=\frac{0.15}{0.05+0.15}=\frac{15}{20}=75\%\end{aligned}$

· 피자가게 창업 시 첫 해 기대이익

[문항 3](1) 피자가게 창업 시 첫 해의 기대이익1,000개 발생확률: $\displaystyle 0.5*0.3+0.2*0.5+0.2*0.2=0.29$ 2,000개 발생확률: $\displaystyle 0.3*0.3+0.5*0.5+0.3*0.2=0.4$ 3,000개 발생확률: $\displaystyle 0.2*0.3+0.3*0.5+0.5*0.2=0.31$ 기대수량: $\displaystyle 1{,}000*0.29+2{,}000*0.4+3{,}000*0.31=2{,}020$ 개첫 해 기대이익: $\displaystyle 0.5$ 만원 $\displaystyle *2{,}020$ 개 $\displaystyle -50$ 만원 $\displaystyle =960$ 만 원

· 택배사업 창업 시 첫 해 기대이익

(2) 택배사업 창업 시 첫 해의 기대이익3,000건 발생확률: $\displaystyle 0.2*0.3+0.2*0.5+0.5*0.2=0.26$ 4,000건 발생확률: $\displaystyle 0.3*0.3+0.5*0.5+0.3*0.2=0.4$ 5,000건 발생확률: $\displaystyle 0.5*0.3+0.3*0.5+0.2*0.2=0.34$ 기대건수: $\displaystyle 3{,}000*0.26+4{,}000*0.4+5{,}000*0.34=4{,}080$ 건첫 해 기대이익: $\displaystyle 0.2$ 만원 $\displaystyle *4{,}080$ 개 $\displaystyle -100$ 만원 $\displaystyle =716$ 만 원

※ 문항 3 별해

[별해 1]각 상황별로 기대수량을 구한 후, 각 상황이 발생할 조건부확률을 곱하여 각 기대수량의 합계를 기대값을 구하여, 기대이익을 계산할 수도 있음.

[별해 2]각 상황별로 기대이익을 구한 후, 각 상황이 발생할 조건부확률을 곱하여 각 기대이익의 합계를 계산할 수도 있음.

평가등급구간	평가핵심내용
1-2등급	평가기준 6개 중 5~6개 제시 [풀이과정 반영]
3-4등급	평가기준 6개 중 4개 제시 [풀이과정 반영]
5-6등급	평가기준 6개 중 3개 제시 [풀이과정 반영]
7-8등급	평가기준 6개 중 2개 제시 [풀이과정 반영]
9등급	평가기준 6개 중 1개 이하 제시 [풀이과정 반영]

첨삭 사례

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