자연계열 I 1번

(1) 모든 $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle g(2x)=3g(x)$이므로 $\displaystyle x=1$일 때$\displaystyle g(2)=3g(1)=3$합성함수의 미분법의 결과 $\displaystyle f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=1$로부터 $\displaystyle f^{\prime}(3)$의 값을 구하면$\displaystyle f^{\prime}(g(2))g^{\prime}(2)=f^{\prime}(3)g^{\prime}(2)=1,\quad f^{\prime}(3)=\frac1{g^{\prime}(2)}$$\displaystyle g(x)=\frac13g(2x)$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하여, $\displaystyle g^{\prime}(1)$의 값을 구하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac23g^{\prime}(2x),\quad g^{\prime}(1)=\frac23g^{\prime}(2)$따라서$\displaystyle f^{\prime}(3)\times g^{\prime}(1)=\frac1{g^{\prime}(2)}\times\frac23g^{\prime}(2)=\frac23$이다.

(2) $\displaystyle B=\int_0^1g(x)\,dx$라고 하자. $\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=\int_0^1\frac13g(2x)\,dx$에서 $\displaystyle 2x=t$로 놓으면 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=0$, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle t=2$, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac12$이므로$\displaystyle \begin{aligned}B&=\int_0^2\frac13g(t)\frac12\,dt=\frac16\int_0^2g(t)\,dt\\&=\frac16\int_0^1g(t)\,dt+\frac16\int_1^2g(t)\,dt\\&=\frac16B+\frac16A\end{aligned}$따라서 구하는 정적분의 값은$\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=B=\frac15A$이다.