자연계열 I 3번

$\displaystyle \cos A=\frac57$, $\displaystyle 0<A<\pi$이므로$\displaystyle \sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\left(\frac57\right)^2}=\frac{2\sqrt6}7$삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$라고 하면 사인법칙에 의하여$\displaystyle \frac a{\sin A}=2R$, 즉 $\displaystyle a=2R\sin A=2\times\frac{7\sqrt2}4\times\frac{2\sqrt6}7=2\sqrt3$삼각형 ABC의 넓이는 $\displaystyle \sqrt6$이므로$\displaystyle \sqrt6=\frac12bc\sin A=\frac{\sqrt6}7bc$, 즉 $\displaystyle bc=7$코사인법칙에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}12=a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\&=(b+c)^2-2bc(1+\cos A)\end{aligned}$이므로$\displaystyle (b+c)^2=12+2bc(1+\cos A)=12+14\left(1+\frac57\right)=36,\quad b+c=6$위로부터 $\displaystyle bc=7$, $\displaystyle b+c=6$이다. 두 수 $\displaystyle b,c$를 근으로 갖는 이차방정식$\displaystyle x^2-(b+c)x+bc=x^2-6x+7=0$의 해는 $\displaystyle x=3\pm\sqrt2$이다.따라서 삼각형의 세 변의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt3$, $\displaystyle 3+\sqrt2$, $\displaystyle 3-\sqrt2$이다.