자연계열 II 1번

(1) 합성함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=2x$이므로$\displaystyle f^{\prime}(g(\sqrt e))g^{\prime}(\sqrt e)=2\sqrt e$$\displaystyle g(\sqrt e)=e$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x$이므로$\displaystyle g^{\prime}(\sqrt e)=\frac{2\sqrt e}{f^{\prime}(e)}=\frac{2\sqrt e}{1+\ln e}=\sqrt e$따라서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (\sqrt e,e)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=\sqrt e(x-\sqrt e)+e=\sqrt e x$이다.

(2) $\displaystyle g(x)=t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=g^{\prime}(x)$이다. $\displaystyle g(0)=\alpha$로 놓으면 $\displaystyle f(\alpha)=\alpha\ln\alpha=0$이고 $\displaystyle \alpha\ge1$이므로 $\displaystyle g(0)=1$이다. 또한 $\displaystyle g(\sqrt e)=e$이고 $\displaystyle 2x=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$이므로 치환적분법에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\sqrt e}2x\{g(x)\}^2\,dx&=\int_0^{\sqrt e}f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)\{g(x)\}^2\,dx\\&=\int_0^{\sqrt e}\{g(x)\}^2f^{\prime}(g(x))\times g^{\prime}(x)\,dx\\&=\int_1^e t^2f^{\prime}(t)\,dt=\int_1^e(t^2\ln t+t^2)\,dt\\&=\int_1^e t^2\ln t\,dt+\int_1^e t^2\,dt\end{aligned}$부분적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^e t^2\ln t\,dt&=\Biggl[\frac13t^3\ln t\Biggr]_1^e-\int_1^e\frac13t^3\frac1t\,dt\\&=\frac13e^3-\Biggl[\frac19t^3\Biggr]_1^e=\frac13e^3-\frac19(e^3-1)\\&=\frac29e^3+\frac19\end{aligned}$또한$\displaystyle \int_1^e t^2\,dt=\Biggl[\frac13t^3\Biggr]_1^e=\frac13e^3-\frac13$이므로 구하는 정적분의 값은$\displaystyle \int_0^{\sqrt e}2x\{g(x)\}^2\,dx=\frac59e^3-\frac29$이다.