자연계열 II 3번

(1) 원 위의 점 P$\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle \ell:(\cos\theta)x+(\sin\theta)y=1,\quad\left(y=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x+\frac1{\sin\theta}\right)$이고, 점 A$\displaystyle (-1,0)$을 지나고 직선 $\displaystyle \ell$에 수직인 직선 $\displaystyle \ell^{\prime}$의 방정식은$\displaystyle \ell^{\prime}:(\cos\theta)y-(\sin\theta)(x+1)=0$이다. 두 직선 $\displaystyle \ell,\ell^{\prime}$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면$\displaystyle (\sin^2\theta)(x+1)=-(\cos^2\theta)x+\cos\theta,\quad x=\cos\theta-\sin^2\theta$이다. 교점의 $\displaystyle y$좌표는$\displaystyle \cos\theta(\cos\theta-\sin^2\theta)+(\sin\theta)y=1,\quad y=\sin\theta(1+\cos\theta)$그러므로 점 A에서 직선 $\displaystyle \ell$에 내린 수선의 발은$\displaystyle \mathrm H(\cos\theta-\sin^2\theta,\sin\theta(1+\cos\theta))$이다.

(2) 삼각형 APH는 $\displaystyle \angle\mathrm{AHP}=90^\circ$인 직각삼각형이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{HA}}=\sqrt{(\cos\theta-\sin^2\theta+1)^2+(\sin\theta+\sin\theta\cos\theta)^2}=1+\cos\theta,$$\displaystyle \overline{\mathrm{HP}}=\sqrt{(\cos\theta-\sin^2\theta-\cos\theta)^2+(\sin\theta+\sin\theta\cos\theta-\sin\theta)^2}=\sin\theta$이므로 삼각형 APH의 넓이를 $\displaystyle \theta$의 함수 $\displaystyle f(\theta)$로 나타내면$\displaystyle f(\theta)=\frac12(1+\cos\theta)\sin\theta$함수 $\displaystyle f(\theta)$의 도함수는$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(\theta)&=-\frac12\sin\theta\sin\theta+\frac12(1+\cos\theta)\cos\theta=\cos^2\theta+\frac12\cos\theta-\frac12\\&=\left(\cos\theta-\frac12\right)(\cos\theta+1)\end{aligned}$이므로 함수 $\displaystyle f(\theta)$의 증감표는 다음과 같다.

구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi3\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)>0$이고 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi3,\pi\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)<0$이므로, 함수 $\displaystyle f(\theta)$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi3\right)$에서 증가하고, 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi3,\pi\right)$에서 감소한다. 따라서 삼각형 APH의 넓이 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$일 때 최댓값$\displaystyle f\left(\frac\pi3\right)=\frac12\left(1+\frac12\right)\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}8$을 갖는다.