자연계열 I 2번

$\displaystyle p(x)=f(x)-g(x)$라고 하면 함수 $\displaystyle p(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이다. 방정식 $\displaystyle p(x)=0$의 두 해 중 작은 값을 $\displaystyle a$라고 하면$\displaystyle p(x)=(x-a)(x-2)^2$ 또는 $\displaystyle p(x)=(x-a)^2(x-2)$$\displaystyle p(2)=0$임을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to2}h(x)&=\lim_{x\to2}\frac1{x-2}\left(\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}-1\right)=\lim_{x\to2}\frac{e^{f(x)-g(x)}-1}{x-2}\\&=\lim_{x\to2}\frac{e^{p(x)}-1}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{e^{p(x)}-e^{p(2)}}{x-2}\end{aligned}$위의 극한값은 $\displaystyle e^{p(x)}$의 $\displaystyle x=2$에서의 미분계수이므로 $\displaystyle \lim_{x\to2}h(x)=p^{\prime}(2)e^{p(2)}=p^{\prime}(2)$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to2}h(x)=p^{\prime}(2)=16$이다.만약 $\displaystyle p(x)=(x-a)(x-2)^2$이면$\displaystyle p^{\prime}(x)=(x-2)^2+2(x-a)(x-2),\quad p^{\prime}(2)=0\ne16$이므로 $\displaystyle p(x)=(x-a)^2(x-2)$가 되어야 한다. 이때$\displaystyle p^{\prime}(x)=2(x-a)(x-2)+(x-a)^2,\quad p^{\prime}(2)=(2-a)^2=16$이므로 $\displaystyle a=-2$ 또는 $\displaystyle a=6$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle a<2$이므로$\displaystyle p(x)=(x+2)^2(x-2)$이다.구간 $\displaystyle [-2,2]$에서 $\displaystyle p(x)\le0$이므로 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-2}^2|f(x)-g(x)|\,dx&=\int_{-2}^2[-p(x)]\,dx=-\int_{-2}^2(x+2)^2(x-2)\,dx\\&=-\int_{-2}^2(x^3+2x^2-4x-8)\,dx\\&=-\Biggl[\frac{x^4}4+\frac{2x^3}3-2x^2-8x\Biggr]_{-2}^2\\&=-\left(4+\frac{16}3-8-16\right)+\left(4-\frac{16}3-8+16\right)\\&=\frac{64}3\end{aligned}$이다.