자연계열 II 4번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$의 정의에 의하여 $\displaystyle x=2$일 때$\displaystyle \begin{aligned}f(2)&=\int_0^2\left|\cos\frac{\pi t}2\right|\,dt=\int_0^1\cos\frac{\pi t}2\,dt-\int_1^2\cos\frac{\pi t}2\,dt\\&=\Biggl[\frac2\pi\sin\frac{\pi t}2\Biggr]_0^1-\Biggl[\frac2\pi\sin\frac{\pi t}2\Biggr]_1^2=\frac4\pi\end{aligned}$그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)=\frac4\pi$가 성립해야 한다.또한 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하므로$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$실수 전체에서 정의된 함수 $\displaystyle g$를 $\displaystyle g(x)=\int_0^x\left|\cos\frac{\pi t}2\right|\,dt$라고 하면, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하고$\displaystyle g^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle g^{\prime}(2)=\left|\cos\frac{2\pi}2\right|=1$이므로$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1$따라서, $\displaystyle 2<x\le r+a$일 때$\displaystyle y=\sqrt{r^2-(x-a)^2},\quad(x-a)^2+y^2=r^2,\quad y\ge0$으로 표현되는 함수의 그래프는 점 $\displaystyle \left(2,\frac4\pi\right)$를 지나고 점 $\displaystyle \left(2,\frac4\pi\right)$에서 접선의 기울기가 1인 원의 일부이다. 점 $\displaystyle \left(2,\frac4\pi\right)$와 원의 중심 $\displaystyle (a,0)$ 사이의 거리는 $\displaystyle r$이고, 이 두 점을 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle -1$이므로$\displaystyle a=2+\frac4\pi,\quad r=\sqrt{(a-2)^2+\frac{16}{\pi^2}}=\frac{4\sqrt2}\pi$이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=\int_0^x\cos\frac{\pi t}2\,dt=\Biggl[\frac2\pi\sin\frac{\pi t}2\Biggr]_0^x=\frac2\pi\sin\frac{\pi x}2\qquad(0\le x<1)$$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_0^1\cos\frac{\pi t}2\,dt-\int_1^x\cos\frac{\pi t}2\,dt\\&=\Biggl[\frac2\pi\sin\frac{\pi t}2\Biggr]_0^1-\Biggl[\frac2\pi\sin\frac{\pi t}2\Biggr]_1^x=\frac4\pi-\frac2\pi\sin\frac{\pi x}2\qquad(1\le x\le2)\end{aligned}$정적분 $\displaystyle \int_0^{a+r}f(x)\,dx$를 구간을 나누어 나타내면$\displaystyle \int_0^{a+r}f(x)\,dx=\int_0^1f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx+\int_2^{a+r}f(x)\,dx$각각의 정적분의 값을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1f(x)\,dx&=\int_0^1\frac2\pi\sin\frac{\pi x}2\,dx\\&=\Biggl[-\frac4{\pi^2}\cos\frac{\pi x}2\Biggr]_0^1=\frac4{\pi^2}\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2f(x)\,dx&=\int_1^2\left(\frac4\pi-\frac2\pi\sin\frac{\pi x}2\right)\,dx\\&=\Biggl[\frac4\pi x+\frac4{\pi^2}\cos\frac{\pi x}2\Biggr]_1^2=\frac4\pi-\frac4{\pi^2}\end{aligned}$이고, 정적분 $\displaystyle \int_2^{a+r}f(x)\,dx$는 밑변과 높이가 $\displaystyle \frac r{\sqrt2}$인 직각삼각형의 넓이와, 반지름의 길이가 $\displaystyle r$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{3\pi}4$인 부채꼴의 넓이의 합을 나타낸다. 즉$\displaystyle \int_2^{a+r}f(x)\,dx=\frac14r^2+\frac12r^2\frac{3\pi}4=\frac{4(2+3\pi)}{\pi^2}$이다. 따라서$\displaystyle \int_0^{a+r}f(x)\,dx=\frac4\pi+\frac{4(2+3\pi)}{\pi^2}=\frac{4(2+4\pi)}{\pi^2}$이다.