자연계열 II 2번

(1) 오각형 ABCDE에 두 대각선 AC, CE를 그어 오각형 ABCDE를 세 개의 삼각형 ABC, ACE, CDE로 나누자.

점 A,B,C가 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}$ ($\displaystyle x>0$) 위에 놓여 있으므로 삼각형 ABC는 중심이 O$\displaystyle (0,0)$, 반지름이 1인 원에 내접한다. 그러므로 사인법칙을 적용하면$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin150^\circ}=2,\quad\overline{\mathrm{AC}}=1$이때, $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OC}}=1$이므로, 삼각형 OAC는 세 변의 길이가 모두 1인 정삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$이고 삼각형 ACE의 넓이는$\displaystyle \frac12\times2\times\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}2$이다.

(2) 문항 (1)에 의하여 삼각형 ACE는 고정되어 있으므로 두 삼각형 ABC, CDE의 넓이가 각각 가장 큰 값을 가질 때 오각형 ABCDE의 넓이는 최대가 된다.삼각형 ABC의 넓이는 두 점 A, C를 지나는 직선과 점 B 사이의 거리가 최대일 때 가장 큰 값을 갖는다. 호 AC 위의 점 B에서 현 AC까지의 거리는 선분 OB가 현 AC를 수직 이등분할 때 최대가 된다.$\displaystyle \mathrm C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)=(\cos60^\circ,\sin60^\circ)$이므로 B의 좌표는$\displaystyle \mathrm B=(\cos30^\circ,\sin30^\circ)=\left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$또한, 삼각형 CDE의 넓이가 최대가 되기 위해서는 두 점 C,E를 지나는 직선과 점 D 사이의 거리가 최대가 되어야 한다.함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-1}x=\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-x^2}-1}x=\lim_{x\to0^+}\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}+1}=0$$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-1}x=\lim_{x\to0^-}\frac{(1-x^2)-1}x=\lim_{x\to0^-}(-x)=0$이므로, $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (-1,1)$에서 미분가능하고$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}-2x&(-1<x\le0)\\-\frac x{\sqrt{1-x^2}}&(0<x<1)\end{cases}$따라서, 점 D에서의 접선과 두 점 C,E를 지나는 직선이 평행할 때 삼각형 CDE의 넓이는 최대가 된다.두 점 C,E를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt3}2-0}{\frac12-(-1)}=\frac1{\sqrt3}$이므로, 점 D의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{\sqrt3}$을 만족하는 값이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이기 위해서는 $\displaystyle x<0$이어야 하므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=-2x=\frac1{\sqrt3},\quad x=-\frac1{2\sqrt3}$따라서 점 D의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac1{2\sqrt3},\frac{11}{12}\right)$이다.이로부터 오각형 ABCDE의 넓이가 최대가 되도록 하는 꼭짓점 B, C, D의 좌표는$\displaystyle \mathrm B\left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right),\ \mathrm C\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right),\ \mathrm D\left(-\frac{\sqrt3}6,\frac{11}{12}\right)$이다.