자연계열 1번

(1-1) (5점) 이항정리 $\displaystyle (1+x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{}_{2n}\mathrm C_kx^k$로부터 $\displaystyle x=1$일 때,$\displaystyle 2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{}_{2n}\mathrm C_k=\sum_{k=0}^{n-1}({}_{2n}\mathrm C_k+{}_{2n}\mathrm C_{2n-k})+{}_{2n}\mathrm C_n$따라서 $\displaystyle {}_{2n}\mathrm C_n=2^{2n}-2\sum_{k=0}^{n-1}{}_{2n}\mathrm C_k$이므로 $\displaystyle {}_{2n}\mathrm C_n$은 짝수이다.

(1-2) (10점) $\displaystyle b=2^ic$ ($\displaystyle c$는 홀수, $\displaystyle 0\le i<k$)라 두면$\displaystyle \frac{n+b}b=\frac{2^k+2^ic}{2^ic}=\frac{2^i(2^{k-i}+c)}{2^ic}=\frac{2^{k-i}+c}c=\frac{\text{홀수}}{\text{홀수}}$이다. 따라서 $\displaystyle f(2^k)=\frac{n+1}1\times\frac{n+2}2\times\cdots\times\frac{n+(n-1)}{n-1}\times\frac{n+n}n$$\displaystyle =\frac{\text{홀수}}{\text{홀수}}\times\frac{\text{홀수}}{\text{홀수}}\times\cdots\times\frac{\text{홀수}}{\text{홀수}}\times2$이므로 $\displaystyle f(2^k)$는 4의 배수가 아니다.

(1-3) (10점) 등식$\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)}=\frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}=\frac{(2n)!/n!n!}{(2n-2)!/(n-1)!(n-1)!}=\frac{2(2n-1)}n$에 $\displaystyle n=2^{15}$를 대입하고 (1-2)의 결과를 이용하면 다음 등식을 얻는다.$\displaystyle f(2^{15}-1)=\frac{2^{15}}{2(2^{16}-1)}f(2^{15})=\frac{2^{15}}{2\times(\text{홀수})}\times2\times(\text{홀수})$따라서 $\displaystyle f(2^{15}-1)$을 나누는 최대 $\displaystyle 2^m$의 형태는 $\displaystyle m=15$일 때이다.