자연계열 (오후) 3번

(3-1) (10점) $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle (x,y,z)$이라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}&\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\\&=(x-a_1)^2+(y-a_2)^2+(z-a_3)^2+(x-b_1)^2+(y-b_2)^2+(z-b_3)^2\\&\quad+(x-c_1)^2+(y-c_2)^2+(z-c_3)^2\\&=3x^2-2(a_1+b_1+c_1)x+3y^2-2(a_2+b_2+c_2)y+3z^2-2(a_3+b_3+c_3)z\\&\quad+a_1^2+b_1^2+c_1^2+a_2^2+b_2^2+c_2^2+a_3^2+b_3^2+c_3^2\\&=3\left(x-\frac{a_1+b_1+c_1}3\right)^2+3\left(y-\frac{a_2+b_2+c_2}3\right)^2+3\left(z-\frac{a_3+b_3+c_3}3\right)^2+\text{상수}\end{aligned}$이 값이 최소가 되게 하는 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{a_1+b_1+c_1}3,\frac{a_2+b_2+c_2}3,\frac{a_3+b_3+c_3}3\right)$이다.

(3-2) (15점) 문제 (3-1)의 계산에서 $\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2$이 상수인 점 $\displaystyle P$의 집합은 삼각형 $\displaystyle ABC$의 무게중심 $\displaystyle (1,1,1)$을 중심으로 하는 구이다. 따라서 구하려는 점 $\displaystyle P$는 $\displaystyle (1,1,1)$을 중심으로 하는 구가 평면 $\displaystyle x+2y+3z=0$에 접할 때의 접점이다.$\displaystyle (1,1,1)$을 지나고 평면에 수직인 직선의 방정식은$\displaystyle x=1+t,\quad y=1+2t,\quad z=1+3t$이고, 이 직선과 평면의 교점을 구하기 위해 이 식을 평면의 식에 대입하면$\displaystyle (1+t)+2(1+2t)+3(1+3t)=0$으로부터 $\displaystyle t=-\frac37$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle P\left(\frac47,\frac17,-\frac27\right)$이다.