수학과학우수자 2번

(2-1) $\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx=\int_0^2xe^x\,dx=\Biggl[xe^x\Biggr]_0^2-\int_0^2e^x\,dx=2e^2-\Biggl[e^x\Biggr]_0^2=e^2+1$

(2-2) 조건 (b)와 문제 (2-1)에 의해$\displaystyle \int_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)\,dx=\frac1n\int_0^1f(x)\,dx=\frac1n(e^2+1)$이므로$\displaystyle \frac{e^2+1}{n(x_n-x_{n-1})}=\frac1{x_n-x_{n-1}}\int_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)\,dx=\frac1{x_{n-1}-2}\int_2^{x_{n-1}}f(x)\,dx.$이다. 그런데 $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle x_{n-1}\to2$이므로 제시문 (가)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{e^2+1}{n(x_n-x_{n-1})}&=\lim_{n\to\infty}\frac1{x_{n-1}-2}\int_2^{x_{n-1}}f(x)\,dx\\&=\lim_{x\to2}\frac1{x-2}\int_2^xf(t)\,dt=f(2)\end{aligned}$이다. 그러므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n(x_n-x_{n-1})=\frac{e^2+1}{f(2)}=\frac{e^2+1}{2e^2}$

(2-3) $\displaystyle 0\le x\le x_1$일 때 $\displaystyle 1\le e^x\le e^{x_1}$이므로 $\displaystyle x\le f(x)\le e^{x_1}x$이다. 제시문 (나)에 의해$\displaystyle \frac{x_1^2}2=\int_0^{x_1}x\,dx\le\int_0^{x_1}f(x)\,dx\le\int_0^{x_1}e^{x_1}x\,dx=\frac{x_1^2}2e^{x_1}$이다. 조건 (b)와 문제 (2-1)에 의해 $\displaystyle \frac{x_1^2}2\le\frac{e^2+1}n\le\frac{x_1^2}2e^{x_1}$이고, 이를 다시 쓰면$\displaystyle \frac{2(e^2+1)}{e^{x_1}}\le nx_1^2\le2(e^2+1)$이다. 그런데 $\displaystyle n\to\infty$이면 $\displaystyle x_1\to0$이고 $\displaystyle e^x$는 연속이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e^{x_1}=1$이다. 그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nx_1^2=2(e^2+1)$이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt n(x_1-x_0)=\lim_{n\to\infty}\sqrt n x_1=\sqrt{2(e^2+1)}$이다.한편,$\displaystyle \frac{n^\alpha(x_n-x_{n-1})}{x_1-x_0}=\frac{n(x_n-x_{n-1})}{\sqrt n x_1}\cdot n^{\alpha-\frac12}$이므로, 문제 (2-2)에 의해 $\displaystyle \alpha=\frac12$일 때 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^\alpha(x_n-x_{n-1})}{x_1-x_0}$의 값이 양의 실수이다.따라서 극한값 $\displaystyle L$은 $\displaystyle \frac{\sqrt{e^2+1}}{2\sqrt2e^2}$이다.