자연계열 (오후) 1번

(1-1) (5점) $\displaystyle |\overline{PA}-r|$ 혹은 $\displaystyle \begin{cases}\overline{PA}-r&(P\text{가 원 }C\text{ 외부에 있을 때})\\r-\overline{PA}&(P\text{가 원 }C\text{ 내부에 있을 때})\\0&(P\text{가 원 }C\text{ 위에 있을 때})\end{cases}$

(1-2) (15점) 두 원 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle C_2$의 중심은 각각 $\displaystyle A(-2,0)$와 $\displaystyle B(2,0)$이다. 원 $\displaystyle C_2$ 위에 있거나 내부에 있으며 두 원 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle C_2$에서 거리가 같은 점을 $\displaystyle P$라 하자. 문제(1-1)의 결과에 의해 다음과 같은 두 등식이 만들어진다.(i) $\displaystyle P$가 원 $\displaystyle C_1$의 외부, 원 $\displaystyle C_2$의 내부에 있을 때,$\displaystyle \overline{PA}-5=3-\overline{PB}\quad\Leftrightarrow\quad\overline{PA}+\overline{PB}=8$이다. 즉, $\displaystyle A,B$를 두 초점으로 하고 거리의 합이 $\displaystyle 2a=8$로 일정한 타원이므로$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$이다.(ii) $\displaystyle P$가 원 $\displaystyle C_1$의 내부, 원 $\displaystyle C_2$의 내부에 있을 때,$\displaystyle 5-\overline{PA}=3-\overline{PB}\quad\Leftrightarrow\quad\overline{PA}-\overline{PB}=2$이다. 즉, $\displaystyle A,B$를 두 초점으로 하고 거리의 차가 $\displaystyle 2a=2$로 일정한 쌍곡선이므로$\displaystyle x^2-\frac{y^2}3=1$이다.

두 원 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle C_2$의 교점 $\displaystyle (x,y)=(2,3),(2,-3)$은 문제의 조건을 만족하고, (i)과 (ii)에서 구한 타원과 쌍곡선은 주어진 두 원 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle C_2$의 교점 $\displaystyle (2,3)$을 지나므로, 구하는 회전체의 부피는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_1^2y_{\text{쌍}}^2\,dx+\pi\int_2^4y_{\text{타}}^2\,dx=3\pi\int_1^2(x^2-1)\,dx+12\pi\int_2^4\left(1-\frac1{16}x^2\right)\,dx\\&=3\pi\Biggl[\frac13x^3-x\Biggr]_1^2+12\pi\Biggl[x-\frac1{48}x^3\Biggr]_2^4=4\pi+10\pi=14\pi\end{aligned}$