자연계열 (오후) 2번

(2-1) (8점) 등식 (b)의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle \left(-\frac1y-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2})}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\frac{dy}{dx}=1$이고, 괄호 안의 수식을 정리하면 $\displaystyle -\frac{\sqrt{1-y^2}}y$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$이다.

(2-2) (7점) 점 $\displaystyle P(t,f(t))$에서 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하는 직선의 방정식은$\displaystyle y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$이다. 위의 식에 $\displaystyle y=0$을 대입하면 $\displaystyle x=t-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}=t+\sqrt{1-(f(t))^2}$이다. 그러면$\displaystyle Q=(t+\sqrt{1-(f(t))^2},0)$이므로, 선분 $\displaystyle PQ$의 길이는 1이다.

(2-3) (10점) $\displaystyle x\to\infty$일 때 등식 (b)의 우변은 $\displaystyle \infty$로 발산한다. 그런데 조건 (a)에 의하면 좌변에서$\displaystyle 0<\sqrt{1-(f(x))^2}<1$이고 $\displaystyle 0<\ln(1+\sqrt{1-(f(x))^2})<\ln2$이다. 따라서 $\displaystyle x\to\infty$일 때 좌변이 $\displaystyle \infty$로 발산하려면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(-\ln f(x))=\infty$이어야 한다. 그러므로$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$이다. 그리고 등식 (b)의 양변에 지수함수를 취하고 정리하면$\displaystyle e^xf(x)=(1+\sqrt{1-(f(x))^2})e^{-\sqrt{1-(f(x))^2}}$을 얻는다. 이 등식의 양변에 $\displaystyle x\to\infty$인 극한을 취하고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$임을 이용하면$\displaystyle \lim_{x\to\infty}e^xf(x)=\frac2e$을 얻는다.